Defina f(g) e determine os números nos quais f(g) é contínua.
(a) f(x) = raiz(x), g(x) = 1 / (x - 2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que definir a composição das funções e descobrir para quais números essa composição é contínua. Aqui, a matéria que estamos tocando é funções compostas e continuidade de funções. Vamos precisar lembrar que a composição e que uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “saltos” ali.

Passo 2

Primeiro, vamos definir . Temos:
Então,

Passo 3

Agora, para a função ser bem definida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo. Então:

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade . O denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida. Então, .
Agora, analisando o sinal da fração:
  • Se (ou seja, ), então .
  • Se (ou seja, ), então .
Como queremos que , isso acontece quando .

Passo 5

Então, a composição está definida para . Agora, precisamos verificar a continuidade dessa função nesses pontos.

Passo 6

Sabemos que tanto quanto são funções contínuas em seus respectivos domínios. A composição de funções contínuas também é contínua no domínio onde está definida.
Então, será contínua para todos os onde está no domínio de , ou seja, para .

Resposta

A composição das funções é e ela é contínua para todos os números reais maiores que 2.

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