Defina
e determine os números nos quais
é contínua.
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que definir a composição das funções
e descobrir para quais números essa composição é contínua. Aqui, a matéria que estamos tocando é funções compostas e continuidade de funções. Vamos precisar lembrar que a composição
e que uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “saltos” ali.
Passo 2
Primeiro, vamos definir
. Temos:
Então,
Passo 3
Agora, para a função
ser bem definida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo. Então:
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade
. O denominador
não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida. Então,
.
Agora, analisando o sinal da fração:
- Se
(ou seja, ), então . - Se
(ou seja, ), então .
Como queremos que
, isso acontece quando
.
Passo 5
Então, a composição
está definida para
. Agora, precisamos verificar a continuidade dessa função nesses pontos.
Passo 6
Sabemos que tanto
quanto
são funções contínuas em seus respectivos domínios. A composição de funções contínuas também é contínua no domínio onde está definida.
Então,
será contínua para todos os
onde
está no domínio de
, ou seja, para
.
Resposta
A composição das funções é
e ela é contínua para todos os números reais maiores que 2.