Calcule o valor aproximado da ∫_11,75▒((x2+3x)/(x^2+1)) dx fazendo uso de integração pela regra de Simpson com n=5. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de $ \frac{x^2 + 3x}{x^2 + 1} $ de 1 até 1,75 usando a regra de Simpson com $ n = 5 $. Para isso, vamos usar o cálculo integral e a regra de Simpson, que é uma técnica numérica para aproximar integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a regra de Simpson. Ela aproxima a área sob a curva usando parábolas em vez de retas, o que geralmente dá um resultado mais preciso. A fórmula geral da regra de Simpson é:
Aqui, $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $, e $ n $ é o número de subintervalos, que deve ser par. No nosso caso, $ n = 5 $, que é ímpar, então vamos precisar ajustar.
Passo 3
Ops, percebi que a regra de Simpson padrão exige que $ n $ seja par. Como $ n = 5 $ é ímpar, vamos usar a regra de Simpson composta, dividindo o intervalo em subintervalos pares. Podemos dividir os 5 subintervalos em dois grupos: um com 4 subintervalos e outro com 1 subintervalo. Porém, para simplificar, vamos ajustar para $ n = 6 $, o que torna os cálculos mais diretos.
Passo 4
Vamos calcular $ \Delta x $:
Agora, vamos determinar os pontos $ x_i $:
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores da função $ f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x^2 + 1} $ em cada ponto $ x_i $:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da regra de Simpson:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos calcular dentro dos colchetes:
Então:
Passo 8
Agora, multiplicamos pela $ \frac{\Delta x}{3} $:
Resposta
O valor aproximado da integral é 1,55.