Calcule o valor aproximado da ∫_11,75▒((x2+3x)/(x^2+1)) dx fazendo uso de integração pela regra de Simpson com n=5. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de $ \frac{x^2 + 3x}{x^2 + 1} $ de 1 até 1,75 usando a regra de Simpson com $ n = 5 $. Para isso, vamos usar o cálculo integral e a regra de Simpson, que é uma técnica numérica para aproximar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a regra de Simpson. Ela aproxima a área sob a curva usando parábolas em vez de retas, o que geralmente dá um resultado mais preciso. A fórmula geral da regra de Simpson é:
integrala^b f(x) , dx approx Deí
Aqui, $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $, e $ n $ é o número de subintervalos, que deve ser par. No nosso caso, $ n = 5 $, que é ímpar, então vamos precisar ajustar.

Passo 3

Ops, percebi que a regra de Simpson padrão exige que $ n $ seja par. Como $ n = 5 $ é ímpar, vamos usar a regra de Simpson composta, dividindo o intervalo em subintervalos pares. Podemos dividir os 5 subintervalos em dois grupos: um com 4 subintervalos e outro com 1 subintervalo. Porém, para simplificar, vamos ajustar para $ n = 6 $, o que torna os cálculos mais diretos.

Passo 4

Vamos calcular $ \Delta x $:
De
Agora, vamos determinar os pontos $ x_i $:
De

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores da função $ f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x^2 + 1} $ em cada ponto $ x_i $:
f(x) = x^2 + 3xx^2 + 1

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da regra de Simpson:
integral1^1,75 f(x) , dx approx De
Substituindo os valores:
approx 0,1253 [ 2 + 4(2,046 + 2,081 + 2,063) + 2(2,075 + 2,077) + 2,046 ]

Passo 7

Vamos calcular dentro dos colchetes:
4(2,046 + 2,081 + 2,063) &= 4(6,190) = 24,76 2(2,075 + 2,077) &= 2(4,152) = 8,304
Então:
2 + 24,76 + 8,304 + 2,046 = 37,11

Passo 8

Agora, multiplicamos pela $ \frac{\Delta x}{3} $:
De

Resposta

O valor aproximado da integral é 1,55.

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