Calcule o valor de cada inegral seguinte:
v=integral-1^1 y(2+y)^23 d y

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 4

Substituindo v = integral1^3 u - 2u^23 , du por na integral original:
Sabemos que , então a integral fica:

Passo 5

Vamos separar a fração para facilitar a integração:
v = integral1^3 ( uu^23 - 2u^23 ) du = integral1^3 u^1 - 23 du - 2 integral1^3 u^-23 du
Simplificando os expoentes:
v = integral1^3 u^13 du - 2 integral1^3 u^-23 du

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de integral u^13 du = u^4343 = 34 u^43 é integral u^-23 du = u^1313 = 3 u^13 , desde que .
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:

Passo 7

Substituindo as integrais de volta na expressão de v = [ 34 u^43 ]1^3 - 2 [ 3 u^13 ]1^3 :
v = 34 ( 3^43 - 1^43 ) - 6 ( 3^13 - 1^13 )
Simplificando:

Passo 8

Calculando cada parte:
Sabemos que 3^43 = 3^1 + 13 = 3 times 3^13 approx 3 times 1,44225 approx 4,32675 é a raiz cúbica de 3, que aproximadamente é 1,44225.
Então:
v approx 34 (4,32675 - 1) - 6 (1,44225 - 1) v approx 34 times 3,32675 - 6 times 0,44225 v approx 2,49506 - 2,6535 v approx -0,15844
E , .
Substituindo:

Resposta

O valor da integral é aproximadamente .

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p=integral0^pi4 sen(2 a) d a
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k=integral-1^1 raiz3 v+4 d v
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C=integral0^pi2 cos (2 x) sen^3(2 x) d x
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H=integral0^4 1raizu cdot 11+raizu d u