Calcule o valor de cada inegral seguinte:
H=integral0^4 1raizu cdot 11+raizu d u

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração de funções que contêm raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição para simplificar a integral e encontrar uma antiderivada que nos permita calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que temos du = 2t , dt no denominador. Vamos fazer uma substituição para facilitar a integraçã:
Seja , então . Agora, derivamos ambos os lados em relação a :
Isso nos ajuda a substituir e na integral original.

Passo 3

Substituindo H = integralt=0^t=2 1t cdot 11 + t cdot 2t , dt e na integral, temos:
Note que os limites de integração mudaram porque , então quando , , e quando , .

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
H = integral0^2 1t cdot 11 + t cdot 2t , dt = integral0^2 2tt(1 + t) , dt = integral0^2 21 + t , dt
Os no numerador e denominador se cancelam, deixando uma expressão mais simples para integrar.

Passo 5

Agora, a integral ficou mais fácil:
H = integral0^2 21 + t , dt
Essa é uma integral básica que podemos resolver usando a antiderivada de , que é .

Passo 6

Calculando a antiderivada:
H = 2 integral0^2 11 + t , dt = 2 [ ln|1 + t| ]0^2
Agora, substituímos os limites de integração na antiderivada.

Passo 7

Aplicando os limites:
H = 2 ( ln(1 + 2) - ln(1 + 0) ) = 2 ( ln 3 - ln 1 )
Sabemos que H = 2 ln 3 , então:

Resposta

O valor da integral é .

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C=integral0^pi2 cos (2 x) sen^3(2 x) d x
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
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N=integral1^e^pi3 tan (ln a)a d a
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Q=integral-1 1(3 v+32) e^v^2+v-1 d v