Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração de funções que contêm raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição para simplificar a integral e encontrar uma antiderivada que nos permita calcular o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que temos
no denominador. Vamos fazer uma substituição para facilitar a integraçã:
Seja
, então
. Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
Isso nos ajuda a substituir
e
na integral original.
Passo 3
Substituindo
e
na integral, temos:
Note que os limites de integração mudaram porque
, então quando
,
, e quando
,
.
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Os
no numerador e denominador se cancelam, deixando uma expressão mais simples para integrar.
Passo 5
Agora, a integral ficou mais fácil:
Essa é uma integral básica que podemos resolver usando a antiderivada de
, que é
.
Passo 6
Calculando a antiderivada:
Agora, substituímos os limites de integração na antiderivada.
Passo 7
Aplicando os limites:
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Calcule o valor de cada inegral seguinte: