(1,0) Calcule o valor esperado associado aos operadores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular o valor esperado dos operadores
e
. Isso tá ligado ao momento angular na mecânica quântica. A gente vai precisar entender o que são esses operadores e como calcular seus valores esperados em um estado específico, que aqui é o estado com números quânticos
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada operador. O operador
representa a componente z do momento angular, ou seja, mede o quanto o momento angular está “alinhado” na direção z. Já o operador
representa o momento angular total ao quadrado.
Passo 3
Agora, o valor esperado de um operador em um estado quântico é como a média que você esperaria se medisse essa quantidade muitas vezes nesse estado. Matemáticamente, é representado por
, onde
é o estado do sistema.
Passo 4
Vamos começar com o operador
. No estado
, o valor esperado de
é dado por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida e
é o número quântico magnético.
Passo 5
Substituindo os valores do estado dado
:
Então, o valor esperado de
nesse estado é zero.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor esperado de
. Para qualquer estado
, temos:
Aqui,
é o número quântico associado ao momento angular total.
Passo 7
Substituindo
no estado
:
Resposta
O valor esperado de
no estado
é 0, e o valor esperado de
é
.