Calcule o valor da média ( x ) e do desvio padrão (s) e determine a percentagem de pessoas que responderam corretamente entre ( x-s) e(x+s ) questôes. Considere:
f1) dados não agrupados, e
f2) dados agrupados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a média ( ) e o desvio padrão (s) de um conjunto de dados, além de determinar a porcentagem de pessoas que responderam corretamente entre e questões. Vamos analisar isso para dois casos:
  1. Dados não agrupados: cada valor individual é considerado.
  2. Dados agrupados: os valores são organizados em grupos ou classes.
Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas da média e do desvio padrão, tanto para dados não agrupados quanto agrupados.

Passo 2

Calcular a média ( x = sum xin ) para dados não agrupados:
A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de valores. A fórmula é:
x = 3 + 4 + 5 + 2 + 45 = 185 = 3,6
Onde:
  • é a soma de todos os valores.
  • é o número total de valores.
Exemplo:
Se tivermos as respostas corretas de 5 pessoas: 3, 4, 5, 2, 4.

Passo 3

Calcular o desvio padrão (s) para dados não agrupados:
O desvio padrão mostra o quanto os dados se espalham em torno da média. A fórmula para o desvio padrão amostral é:
s = raizsum (xi - x)^2n - 1
Onde:
  • s = raiz(3-3,6)^2 + (4-3,6)^2 + (5-3,6)^2 + (2-3,6)^2 + (4-3,6)^25 - 1 = raiz0,36 + 0,16 + 1,96 + 2,56 + 0,164 = raiz5,24 = raiz1,3 approx 1,14 são os valores individuais.
  • é a média.
  • é o número de valores.
Exemplo:
Usando a média :

Passo 4

Determinar a porcentagem de pessoas entre x - s = 3,6 - 1,14 = 2,46 e x + s = 3,6 + 1,14 = 4,74 para dados não agrupados:
Primeiro, calculamos os limites:
Porcenta>=m = (35) times 100% = 60%
Agora, contamos quantas pessoas tiveram respostas entre 2,46 e 4,74:
  • Respostas: 3, 4, 5, 2, 4
  • Entre 2,46 e 4,74: 3, 4, 4
São 3 pessoas de um total de 5.

Passo 5

Calcular a média ( x = sum fi cdot xisum fi ) para dados agrupados:
Quando os dados estão agrupados, usamos os pontos médios de cada classe. A fórmula da média é:
x = (2 times 1,5) + (3 times 3,5) + (1 times 5,5)2 + 3 + 1 = 3 + 10,5 + 5,56 = 196 approx 3,17
Onde:
  • é a frequência de cada classe.
  • é o ponto médio de cada classe.
Exemplo:
Suponha que temos as seguintes classes e frequências:
Classe Frequência ( )
1-2 2
3-4 3
5-6 1
Calculamos os pontos médios:
  • Classe 1-2:
  • Classe 3-4:
  • Classe 5-6:
Agora, calculamos a média:

Passo 6

Calcular o desvio padrão (s) para dados agrupados:
A fórmula para o desvio padrão em dados agrupados é:
s = raizsum fi cdot (xi - x)^2sum fi - 1
Usando o exemplo anterior:
s = raiz2(1,5 - 3,17)^2 + 3(3,5 - 3,17)^2 + 1(5,5 - 3,17)^26 - 1 = raiz2(2,67)^2 + 3(0,33)^2 + 1(2,33)^25 = raiz14,24 + 0,33 + 5,435 = raiz195 approx 1,95

Passo 7

Determinar a porcentagem de pessoas entre x - s = 3,17 - 1,95 = 1,22 e x + s = 3,17 + 1,95 = 5,12 para dados agrupados:
Primeiro, estabelecemos os limites:
Porcenta>=m = (36) times 100% = 50%
Agora, verificamos quais classes estão dentro desse intervalo (1,22 a 5,12):
  • Classe 1-2: parcialmente dentro
  • Classe 3-4: totalmente dentro
  • Classe 5-6: parcialmente dentro
Para simplificar, vamos considerar apenas as classes totalmente dentro:
  • Classe 3-4: 3 pessoas

Resposta

Para dados não agrupados, a média é 3,6, o desvio padrão é aproximadamente 1,14 e 60% das pessoas responderam corretamente entre 2,46 e 4,74 questões. Para dados agrupados, a média é aproximadamente 3,17, o desvio padrão é cerca de 1,95 e 50% das pessoas responderam corretamente entre 1,22 e 5,12 questões.

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