A percentagem de álcool (100 X) em certo composto pode ser considerada uma variável aleatória, onde X tem a seguinte função densidade, 12 x^2(1-x), 0. Calcule P(X >= 23).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Probabilidade onde a porcentagem de álcool em um composto é representada por uma variável aleatória . A função densidade dessa variável é para . A gente precisa calcular a probabilidade de ser maior ou igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de função densidade de probabilidade e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função densidade de probabilidade. Ela nos dá a “distruição” das probabilidades para valores contínuos da variável aleatória. Para encontrar a probabilidade de estar em um certo intervalo, a gente precisa integrar a função densidade nesse intervalo.

Passo 3

Queremos calcular P(X >= 23) = integral23^1 12x^2(1 - x) , dx . Isso significa que vamos integrar a função densidade de até 1:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral 12x^2(1 - x) , dx = 12 integral (x^2 - x^3) , dx = 12 ( x^33 - x^44 ) = 4x^3 - 3x^4
Agora avaliamos de P = [4x^3 - 3x^4]23^1 = (4(1)^3 - 3(1)^4) - (4(23)^3 - 3(23)^4) a 1:
= (4 - 3) - (4 cdot 827 - 3 cdot 1681) = 1 - (3227 - 4881) = 1 - (3227 - 1627) = 1 - 1627 = 1127
Calculando:

Resposta

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