Numa via de mão única que termina numa ponte, quer se estudar o tráfego. Encontra-se que esse volume é de 120 veículos/hora, em média. Assume-se que a chegada de veículos constitui um processo de Poisson. Ache a probabilidade de que num período de um minuto mais de dois veículos cheguem ao pedágio.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que precisa ser feito aqui! A gente tem uma rua de mão única que termina numa ponte e quer estudar o tráfego dela. Sabemos que, em média, chegam 120 veículos por hora. A questão usa um processo de Poisson para modelar essas chegadas de carros. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que, num período de um minuto, cheguem mais de dois veículos ao pedágio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um processo de Poisson. Esse modelo é usado para contar o número de eventos que acontecem em um intervalo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem de forma independente e com uma taxa média constante. No nosso caso, os “eventos” são os veículos chegando ao pedágio.
Passo 3
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos. -
é a taxa média de eventos no intervalo considerado. -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828). -
é o fatorial de .
Passo 4
Agora, precisamos ajustar a taxa média
para o intervalo de um minuto. Sabemos que a taxa é de 120 veículos por hora. Como uma hora tem 60 minutos, a taxa por minuto é:
Passo 5
Queremos achar a probabilidade de que cheguem mais de dois veículos numa minuto. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de chegarem dois ou menos veículos. Matematicamente:
Passo 6
Vamos calcular
, que é a soma das probabilidades de chegarem 0, 1 ou 2 veículos:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula inicial:
Calculando o valor numérico:
Então:
Resposta
A probabilidade de que, num período de um minuto, cheguem mais de dois veículos ao pedágio é de aproximadamente 32,35%.
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