Numa via de mão única que termina numa ponte, quer se estudar o tráfego. Encontra-se que esse volume é de 120 veículos/hora, em média. Assume-se que a chegada de veículos constitui um processo de Poisson. Ache a probabilidade de que num período de um minuto mais de dois veículos cheguem ao pedágio.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que precisa ser feito aqui! A gente tem uma rua de mão única que termina numa ponte e quer estudar o tráfego dela. Sabemos que, em média, chegam 120 veículos por hora. A questão usa um processo de Poisson para modelar essas chegadas de carros. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que, num período de um minuto, cheguem mais de dois veículos ao pedágio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um processo de Poisson. Esse modelo é usado para contar o número de eventos que acontecem em um intervalo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem de forma independente e com uma taxa média constante. No nosso caso, os “eventos” são os veículos chegando ao pedágio.

Passo 3

A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
  • é a taxa média de eventos no intervalo considerado.
  • é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828).
  • é o fatorial de .

Passo 4

Agora, precisamos ajustar a taxa média lambda = 120 veículos60 minutos = 2 veículos por minuto para o intervalo de um minuto. Sabemos que a taxa é de 120 veículos por hora. Como uma hora tem 60 minutos, a taxa por minuto é:
íí

Passo 5

Queremos achar a probabilidade de que cheguem mais de dois veículos numa minuto. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de chegarem dois ou menos veículos. Matematicamente:
P(X > 2) = 1 - P(X <= 2)

Passo 6

Vamos calcular P(X <= 2) = P(0) + P(1) + P(2) , que é a soma das probabilidades de chegarem 0, 1 ou 2 veículos:
P(X <= 2) = e^-2 + 2e^-2 + 2e^-2 = 5e^-2
Calculando cada termo:
Então:

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula inicial:
P(X > 2) = 1 - 5e^-2
Calculando o valor numérico:
e^-2 approx 0,1353
Então:
P(X > 2) = 1 - 5 cdot 0,1353 = 1 - 0,6765 = 0,3235

Resposta

A probabilidade de que, num período de um minuto, cheguem mais de dois veículos ao pedágio é de aproximadamente 32,35%.

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