Calcule o valor da probabilidade do erro tipo II do teste do item (a) quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Queremos calcular a probabilidade do erro tipo II em um teste estatístico, quando a proporção verdadeira $ p $ é 0,35. Isso está relacionado ao teste de hipóteses, que é um método usado para decidir se há evidências suficientes nos dados de uma amostra para inferir que uma certa condição é verdadeira para toda a população.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Erro tipo II: É a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira.
- Hipóteses do teste: Normalmente, temos uma hipótese nula $ H_0 $ e uma hipótese alternativa $ H_1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses do teste. Suponha que no item (a) a hipótese nula seja $ H_0: p = p_0 $ e a hipótese alternativa seja $ H_1: p \neq p_0 $, onde $ p_0 $ é um valor específico da proporção.
No nosso caso, queremos calcular o erro tipo II quando a verdadeira proporção $ p = 0,35 $.
Passo 3
O erro tipo II ocorre quando não rejeitamos $ H_0 $ mesmo que $ H_1 $ seja verdadeira. Para calcular essa probabilidade, precisamos:
- Determinar a região crítica do teste, ou seja, os valores para os quais rejeitamos $ H_0 $.
- Calcular a probabilidade de que a estatística do teste caia dentro da região de não rejeição quando $ p = 0,35 $.
Passo 4
Vamos supor que estamos usando um teste z para proporções. A região crítica depende do nível de significância $ \alpha $ escolhido para o teste. Por exemplo, se $ \alpha = 0,05 $, a região crítica está nas duas caudas de 2,5% cada.
A estatística do teste z é calculada por:
onde:
- $ \hat{p} $ é a proporção observada na amostra,
- $ n $ é o tamanho da amostra.
Passo 5
Para calcular a probabilidade do erro tipo II ($ \beta $), seguimos:
- Determinamos os valores críticos de $ z $ que correspondem a $ \alpha/2 $ em cada cauda.
- Convertendo esses valores críticos de $ z $ para valores de $ \hat{p} $.
- Calculamos a probabilidade de que $ \hat{p} $ esteja dentro desses limites quando $ p = 0,35 $.
Passo 6
Vamos fazer um exemplo numérico. Suponha que:
- $ p_0 = 0,30 $,
- $ p = 0,35 $,
- $ n = 100 $,
- $ \alpha = 0,05 $.
Primeiro, calculamos o desvio padrão sob $ H_0 $:
Os valores críticos de $ z $ para $ \alpha = 0,05 $ são aproximadamente $ \pm 1,96 $.
Convertendo para $ \hat{p} $:
Passo 7
Agora, calculamos a probabilidade de $ \hat{p} $ estar entre 0,2102 e 0,3898 quando $ p = 0,35 $.
O desvio padrão sob $ p = 0,35 $ é:
Calculamos os valores z correspondentes:
Usando a tabela z:
- $ P(z < -2,70) \approx 0,0035 $
- $ P(z < 0,806) \approx 0,7904 $
Então, a probabilidade de $ \hat{p} $ estar entre 0,2102 e 0,3898 é:
Passo 8
Portanto, a probabilidade do erro tipo II ($ \beta $) é aproximadamente 78,69%.
Resposta
A probabilidade do erro tipo II do teste é aproximadamente 78,69%.