A demanda de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade
f(x)= 2 xc, & se 0 <= x<1 -xc+1, & se 1 <= x<3 0, & caso contrário á
Determine o valor de c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiramente, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma função que descreve a demanda de arroz num supermercado, medida em centenas de quilos. Essa função é chamada de função de densidade de probabilidade.
O que é uma função de densidade de probabilidade? É uma função que nos ajuda a entender a distribuição das probabilidades de uma variável aleatória contínua. E uma regra importante é que a área total sob essa curva precisa ser igual a 1, porque estamos lidando com probabilidades.
O que precisamos fazer aqui? Precisamos encontrar o valor de na função dada, garantindo que a área total sob a curva da função de densidade seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a função f(x)= 2xc, & se 0 <= x < 1 -xc + 1, & se 1 <= x < 3 0, & caso contrário em duas partes, conforme definido:
á
Isso significa que temos duas expressões diferentes para dependendo do intervalo de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área sob a curva de cada parte da função. Lembrando que a integral de integral0^1 2xc , dx de a deve ser igual a 1.
Primeiro, calculamos a integral de de a :

Passo 4

Calculando a primeira integral:
integral0^1 2xc , dx = 2c cdot [ x^22 ]0^1 = 2c cdot ( 1^22 - 0^22 ) = 2c cdot 12 = 1c

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral da função integral1^3 ( -xc + 1 ) , dx de a :

Passo 6

Resolvendo a segunda integral:
integral1^3 ( -xc + 1 ) , dx = -1c cdot [ x^22 ]1^3 + [ x ]1^3
Calculando cada parte:
-1c cdot ( 3^22 - 1^22 ) + (3 - 1) = -1c cdot ( 92 - 12 ) + 2 = -1c cdot 82 + 2 = -4c + 2

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas calculadas e igualamos a 1:
1c + ( -4c + 2 ) = 1
Simplificando:
1c - 4c + 2 = 1 implies -3c + 2 = 1

Passo 8

Vamos isolar -3c = 1 - 2 implies -3c = -1 :
3c = 1
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 9

Agora, resolvemos para c = 3 :

Resposta

O valor de é 3.

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