O comprimento de peças fabricadas numa indústria automotriz está uniformemente distribuído entre 0,85 e 1,10 cm.
Qual é o valor do comprimento que é excedido por 85 % das peças?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o comprimento das peças de uma fábrica que varia de 0,85 cm a 1,10 cm de forma uniforme. Ou seja, todas as medidas dentro desse intervalo têm a mesma probabilidade de acontecer. A pergunta é: qual é o comprimento que 85% das peças não ultrapassam? Isso envolve conceitos de distribuição uniforme e percentis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição uniforme. É quando todos os valores dentro de um intervalo têm a mesma chance de ocorrer. No nosso caso, o intervalo é de 0,85 cm a 1,10 cm. A fórmula da função de distribuição acumulada $ F(x) $ para uma distribuição uniforme é:
F(x)
onde $ a $ é o limite inferior (0,85 cm) e $ b $ é o limite superior (1,10 cm).

Passo 3

A questão quer saber o valor de $ x $ tal que 85% das peças têm comprimento acima desse valor. Isso significa que queremos encontrar $ x $ onde $ P(X > x) = 0,85 $. Como a distribuição é uniforme, podemos dizer que:
x
Então, temos:
x

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da função de distribuição acumulada para encontrar $ x $:
x
Substituindo os valores de $ a $ e $ b $:
F(x) = x - ab - a = 0,15
Simplificando o denominador:
a

Passo 5

Agora, resolvemos a equação para $ x $:
x
x - 0,85 = 0,15 times 0,25
x - 0,85 = 0,0375
x = 0,85 + 0,0375

Resposta

O comprimento que é excedido por 85% das peças é 0,89 cm.

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