O comprimento de peças fabricadas numa indústria automotriz está uniformemente distribuído entre 0,85 e
.
Qual é o valor do comprimento que é excedido por
das peças?
Qual é o valor do comprimento que é excedido por
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o comprimento das peças de uma fábrica que varia de 0,85 cm a 1,10 cm de forma uniforme. Ou seja, todas as medidas dentro desse intervalo têm a mesma probabilidade de acontecer. A pergunta é: qual é o comprimento que 85% das peças não ultrapassam? Isso envolve conceitos de distribuição uniforme e percentis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição uniforme. É quando todos os valores dentro de um intervalo têm a mesma chance de ocorrer. No nosso caso, o intervalo é de 0,85 cm a 1,10 cm. A fórmula da função de distribuição acumulada $ F(x) $ para uma distribuição uniforme é:
onde $ a $ é o limite inferior (0,85 cm) e $ b $ é o limite superior (1,10 cm).
Passo 3
A questão quer saber o valor de $ x $ tal que 85% das peças têm comprimento acima desse valor. Isso significa que queremos encontrar $ x $ onde $ P(X > x) = 0,85 $. Como a distribuição é uniforme, podemos dizer que:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da função de distribuição acumulada para encontrar $ x $:
Substituindo os valores de $ a $ e $ b $:
Simplificando o denominador:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação para $ x $:
Resposta
O comprimento que é excedido por 85% das peças é 0,89 cm.