Calcule o valor da soma abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma:
Para isso, vamos utilizar conhecimentos de álgebra e somas de séries. Vamos precisar expandir a expressão e aplicar fórmulas de somatório conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o termo
:
Agora, multiplicamos esse resultado por
:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a soma original com a expressão expandida:
Podemos separar a soma em quatro somas distintas:
Passo 4
Vamos utilizar as fórmulas de somatório para cada uma dessas séries:
- Soma dos cubos:
- Soma dos quadrados:
- Soma dos primeiros n termos:
- Soma de 1, n vezes:
Passo 5
Substituindo essas fórmulas na expressão original:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Passo 6
Agora, juntando todos os termos simplificados:
Esse é o valor da soma em forma fechada.
Resposta
A soma
é igual a: