Calcule o valor da soma abaixo:
sumk=1^n(2 k-1)^2(k+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma:
sumk=1^n(2k-1)^2(k+2)
Para isso, vamos utilizar conhecimentos de álgebra e somas de séries. Vamos precisar expandir a expressão e aplicar fórmulas de somatório conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo (2k - 1)^2:
(2k - 1)^2 = 4k^2 - 4k + 1
Agora, multiplicamos esse resultado por (k + 2):
(4k^2 - 4k + 1)(k + 2) = 4k^3 + 8k^2 - 4k^2 - 8k + k + 2
Simplificando os termos semelhantes:
4k^3 + 4k^2 - 7k + 2

Passo 3

Agora, vamos reescrever a soma original com a expressão expandida:
sumk=1^n (4k^3 + 4k^2 - 7k + 2)
Podemos separar a soma em quatro somas distintas:
4sumk=1^n k^3 + 4sumk=1^n k^2 - 7sumk=1^n k + 2sumk=1^n 1

Passo 4

Vamos utilizar as fórmulas de somatório para cada uma dessas séries:
  1. Soma dos cubos:
sumk=1^n k^3 = (n(n+1)2)^2
  1. Soma dos quadrados:
sumk=1^n k^2 = n(n+1)(2n+1)6
  1. Soma dos primeiros n termos:
sumk=1^n k = n(n+1)2
  1. Soma de 1, n vezes:
sumk=1^n 1 = n

Passo 5

Substituindo essas fórmulas na expressão original:
4(n(n+1)2)^2 + 4(n(n+1)(2n+1)6) - 7(n(n+1)2) + 2n
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
4 times (n(n+1)2)^2 = 4 times n^2(n+1)^24 = n^2(n+1)^2
  1. Segundo termo:
4 times n(n+1)(2n+1)6 = 4n(n+1)(2n+1)6 = 2n(n+1)(2n+1)3
  1. Terceiro termo:
-7 times n(n+1)2 = -7n(n+1)2
  1. Quarto termo:
2n

Passo 6

Agora, juntando todos os termos simplificados:
n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1)3 - 7n(n+1)2 + 2n
Esse é o valor da soma em forma fechada.

Resposta

A soma sumk=1^n(2k-1)^2(k+2) é igual a:
n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1)3 - 7n(n+1)2 + 2n

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