Calcule o valor da soma abaixo:
sumk=1^n k(2 k+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a soma da expressão sumk=1^n k(2k + 1). Isso envolve somar termos que dependem de k, onde k varia de 1 até n. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de progressões e somas de termos algébricos, além de algumas fórmulas básicas de somatório.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Temos k(2k + 1). Vamos distribuir o k:
k(2k + 1) = 2k^2 + k
Então, a soma original fica:
sumk=1^n (2k^2 + k)

Passo 3

Agora, podemos separar essa soma em duas partes:
sumk=1^n 2k^2 + sumk=1^n k
Isso é possível porque a soma de uma soma é igual à soma das somas.

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiramente, a soma de k de 1 até n:
sumk=1^n k = n(n + 1)2
Essa é uma fórmula padrão para a soma dos primeiros n números naturais.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma de k^2 de 1 até n:
sumk=1^n k^2 = n(n + 1)(2n + 1)6
Essa é a fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros n números naturais.

Passo 6

Voltando à nossa soma original:
sumk=1^n (2k^2 + k) = 2 sumk=1^n k^2 + sumk=1^n k
Substituindo as fórmulas que encontramos:
2 ( n(n + 1)(2n + 1)6 ) + n(n + 1)2

Passo 7

Vamos simplificar os termos:
Primeiro, simplificando o primeiro termo:
2 times n(n + 1)(2n + 1)6 = 2n(n + 1)(2n + 1)6 = n(n + 1)(2n + 1)3
E o segundo termo permanece:
n(n + 1)2

Passo 8

Agora, vamos somar os dois termos:
n(n + 1)(2n + 1)3 + n(n + 1)2
Para somar frações, precisamos de um denominador comum, que no caso é 6:
2n(n + 1)(2n + 1)6 + 3n(n + 1)6 = 2n(n + 1)(2n + 1) + 3n(n + 1)6

Passo 9

Vamos fatorar n(n + 1):
n(n + 1)[2(2n + 1) + 3]6 = n(n + 1)(4n + 2 + 3)6 = n(n + 1)(4n + 5)6

Resposta

Portanto, a soma sumk=1^n k(2k + 1) é igual a:
n(n + 1)(4n + 5)6

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