Calcule o valor da soma abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a soma da expressão
. Isso envolve somar termos que dependem de
, onde
varia de 1 até
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de progressões e somas de termos algébricos, além de algumas fórmulas básicas de somatório.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Temos
. Vamos distribuir o
:
Então, a soma original fica:
Passo 3
Agora, podemos separar essa soma em duas partes:
Isso é possível porque a soma de uma soma é igual à soma das somas.
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiramente, a soma de
de 1 até
:
Essa é uma fórmula padrão para a soma dos primeiros
números naturais.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma de
de 1 até
:
Essa é a fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros
números naturais.
Passo 6
Voltando à nossa soma original:
Substituindo as fórmulas que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar os termos:
Primeiro, simplificando o primeiro termo:
E o segundo termo permanece:
Passo 8
Agora, vamos somar os dois termos:
Para somar frações, precisamos de um denominador comum, que no caso é 6:
Passo 9
Vamos fatorar
:
Resposta
Portanto, a soma
é igual a: