Seja o conjunto a1, a2, ldots, an. Quantos são os subconjuntos com p-elementos (p nos quais a1 e a2 aparecem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto com elementos $ {a_{1}, a_{2}, ···, a_{n}} $ e precisa descobrir quantos subconjuntos de $ p $ elementos (onde $ p < n $) incluem tanto $ a_{1} $ quanto $ a_{2} $. Vamos usar princípios de combinatória, especificamente o conceito de combinações, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, já que queremos que $ a_{1} $ e $ a_{2} $ estejam sempre presentes nos subconjuntos, a gente pode “fixar” esses dois elementos no subconjunto. Isso significa que, dos $ p $ elementos que queremos no subconjunto, já temos 2 ocupados por $ a_{1} $ e $ a_{2} $.

Passo 3

Agora, precisamos escolher os restantes $ p - 2 $ elementos para completar o subconjunto. Esses elementos vão vir do conjunto que sobraram, ou seja, do conjunto original menos $ a_{1} $ e $ a_{2} $. Portanto, restaram $ n - 2 $ elementos para escolher.

Passo 4

A quantidade de maneiras de escolher $ p - 2 $ elementos de um conjunto com $ n - 2 $ elementos é dada pela combinação:
p - 2
Isso significa que estamos calculando todas as possíveis combinações de $ p - 2 $ elementos entre os $ n - 2 $ que sobraram.

Resposta

O número de subconjuntos com $ p $ elementos que contêm $ a_{1} $ e $ a_{2} $ é:
p

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