Calcule os valores das operações abaixo, apresentando o resultado na forma polar e retangular:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a operação de um número complexo na forma polar dividido por outro na forma retangular, e apresentar o resultado tanto na forma polar quanto na retangular. Então, vamos trabalhar com números complexos, usando conceitos de formas polar e retangular, e vamos precisar converter entre essas formas para resolver a divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os números que temos:
- O número na forma polar é
. Isso significa que ele tem um módulo (ou magnitude) de 5 e um ângulo de 53,1 graus em relação ao eixo real. - O número no denominador está na forma retangular:
. Aqui, é a unidade imaginária.
Para facilitar a divisão, vamos converter o número do denominador para a forma polar.
Passo 3
Vamos converter
da forma retangular para a forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por:
Onde:
-
é o módulo, calculado por -
é o ângulo, calculado por
Aqui,
e
. Então,
E,
Como o ângulo está no quarto quadrante, podemos escrever:
Passo 4
Agora, temos:
Primeiro, vamos lidar com o sinal negativo no numerador. Multiplicar por
equivale a adicionar
ao ângulo:
Então, agora temos:
Passo 5
Para dividir dois números complexos na forma polar, usamos a seguinte regra:
Aplicando isso ao nosso caso:
Calculando:
E,
Então,
Passo 6
Agora, vamos converter esse resultado para a forma retangular. A conversão da forma polar para a retangular é feita usando:
Onde
e
.
Calculando:
Então, na forma retangular:
Resposta
O resultado da operação é:
- Forma Polar:
- Forma Retangular: