Calcule
e
para o vapor d(a) Com a equação do tipo virial truncada [Eq. (3.40)], com os seguintes valores experimentais dos coeficientes do tipo virial:
(b) Com a equação do tipo virial truncada [Eq. (3.38)], com um valor de
obtido com a correlação de Pitzer generalizada [(Eq. (3.63)].
Passo 1
Beleza! Vamos calcular os fatores de compressibilidade $ Z $ e o volume molar $ V $ para o vapor usando a equação de virial truncada. A equação de virial é uma forma de representar o comportamento de gases reais, levando em conta interações entre as moléculas. Para isso, vamos precisar dos coeficientes de virial fornecidos: $ B = -152,5 , cm^3/mol $ e $ C = -5.800 , cm6/\text{mol}2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de virial truncada até o segundo coeficiente (parte a). A forma geral da equação de virial é:
Onde:
- $ Z $ é o fator de compressibilidade,
- $ B $ é o segundo coeficiente de virial,
- $ V_m $ é o volume molar.
No nosso caso, também temos um coeficiente $ C $, então a equação completa fica:
Passo 3
Sabemos que o fator de compressibilidade $ Z $ também está relacionado à pressão $ P $ e ao volume molar $ V_m $ pela relação:
Onde:
- $ R $ é a constante dos gases ($ 0,0821 , L·atm/mol·K $),
- $ T $ é a temperatura em Kelvin.
Vamos assumir que temos os valores de $ P $ e $ T $ ou que precisamos expressar $ Z $ e $ V_m $ em termos desses parâmetros.
Passo 4
Para resolver essa equação, precisamos de uma abordagem iterativa ou fazer simplificações. Vamos considerar que estamos trabalhando próximo das condições ideais, onde $ Z $ está próximo de 1. Podemos começar aproximando:
Então, substituímos na equação de virial:
Isso simplifica para:
Passo 5
Para resolver essa equação para $ V_m $, vamos multiplicar todos os termos por $ V_m^2 $ para eliminar os denominadores:
Então isolamos $ V_m $:
Passo 6
Agora, substituímos os valores de $ B $ e $ C $:
Simplificando os sinais:
O volume molar não pode ser negativo, o que indica que nossa aproximação inicial $ Z \approx 1 $ não é válida sob essas condições. Precisamos considerar termos adicionais ou revisar as condições do problema.
Passo 7
Como a aproximação não funcionou, vamos tentar resolver a equação de virial completa para $ Z $:
E usar a relação:
Igualando as duas expressões para $ Z $:
Isso resulta em uma equação quadrática em termos de $ V_m $:
Passo 8
Para resolver essa equação cúbica para $ V_m $, precisaríamos de métodos numéricos ou de uma calculadora específica. Contudo, para simplificar, vamos usar um método iterativo ou assumir valores de $ V_m $ que satisfaçam a equação para um determinado $ P $ e $ T $.
Passo 9
Após encontrar $ V_m $ usando um método numérico, podemos calcular $ Z $ substituindo de volta na relação:
E assim obter os valores desejados de $ Z $ e $ V $.
Resposta
Devido à complexidade da equação de virial completa, os valores exatos de $ Z $ e $ V $ para o vapor devem ser obtidos usando métodos numéricos ou ferramentas de cálculo apropriadas. A solução envolve resolver a equação cúbica resultante para $ V_m $ e, em seguida, calcular $ Z $ com base nesse valor.