Calcule a velocidade nos instantes t = 5s de uma partícula que está se movimentando de acordo com a função x(t) = 5t^2 - 8t + 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma partícula que se movimenta conforme a função de posição $ x(t) = 5t^2 - 8t + 4 $. O que precisamos descobrir é a velocidade dela no instante $ t = 5 $ segundos. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada. A derivada de uma função de posição $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $ nos dá a velocidade $ v(t) $ da partícula. Então, para encontrar a velocidade, precisamos calcular a derivada de $ x(t) $.

Passo 3

Vamos derivar a função $ x(t) = 5t^2 - 8t + 4 $ em relação a $ t $. Para cada termo da função:
  • A derivada de $ 5t^2 $ é $ 10t $ (usamos a regra do poder: trazemos o expoente para multiplicar e diminuímos o expoente em 1).
  • A derivada de $ -8t $ é $ -8 $ (a derivada de $ t $ é 1).
  • A derivada de uma constante, como 4, é 0.
Então, a derivada da função $ x(t) $ é:
x(t) = 5t^2 - 8t + 4

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade $ v(t) = 10t - 8 $, vamos substituir $ t = 5 $ segundos para encontrar a velocidade no instante desejado.
v(t) = 10t - 8

Resposta

A velocidade da partícula no instante $ t = 5 $ segundos é de 42 unidades de velocidade.

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