Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Quais as probabilidades de haver restituição no televisor do tipo A e de não haver a restituição do tipo B, respectivamente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas categorias de televisores, o tipo A e o tipo B, que têm diferentes tempos médios para apresentar defeitos graves. A gente precisa calcular duas probabilidades: a chance de um televisor tipo A precisar de restituição dentro de seis meses e a chance de um tipo B não precisar dessa restituição nesse mesmo período. Para isso, vamos usar a distribuição normal e as propriedades dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Essa distribuição é usada para modelar variáveis que têm uma tendência a se distribuir em torno de uma média. Ela é definida pela média ( mu) e pelo desvio padrão ( sigma). No nosso caso:
  • Televisor tipo A: mu = 10 meses, sigma = 2 meses
  • Televisor tipo B: mu = 11 meses, sigma = 3 meses

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de que um televisor tipo A apresente defeito dentro de seis meses. Isso significa que queremos P(X <= 6), onde X é o tempo até o defeito.
Para isso, vamos padronizar a variável usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma
Substituindo os valores para o tipo A:
z = 6 - 102 = -42 = -2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a z = -2 na tabela da distribuição normal padrão. Essa tabela nos dá a probabilidade acumulada até um certo valor de z.
Consultando a tabela, P(z <= -2) approx 0,0228. Isso significa que há cerca de 2,28% de chance de um televisor tipo A apresentar defeito dentro de seis meses, resultando na restituição.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de que um televisor tipo B não apresente defeito dentro de seis meses. Isso significa que queremos P(Y > 6), onde Y é o tempo até o defeito.
Primeiro, padronizamos a variável:
z = 6 - 113 = -53 approx -1,6667

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição normal para z approx -1,6667, encontramos que P(z <= -1,6667) approx 0,0478. Essa é a probabilidade de ocorrer um defeito dentro de seis meses.
Como queremos a probabilidade de não ocorrer o defeito, subtraímos esse valor de 1:
P(Y > 6) = 1 - P(z <= -1,6667) approx 1 - 0,0478 = 0,9522
Isso significa que há cerca de 95,22% de chance de um televisor tipo B não precisar de restituição dentro de seis meses.

Resposta

As probabilidades são aproximadamente 2,28% para restituição do tipo A e 95,22% para não haver restituição do tipo B.

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