Calcule o volume de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado medindo 2 cm, sabendo que a área lateral é 30 cm².
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um prisma reto que tem como base um triângulo equilátero com lado de 2 cm e área lateral de 30 cm². Vamos usar conceitos de geometria, especificamente sobre prismas e áreas de figuras planas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o volume de um prisma é dado pela fórmula:
Aqui, a “Altura” do prisma é a distância entre as duas bases, e representará a altura que vamos precisar encontrar.
Passo 3
Como nossa base é um triângulo equilátero, vamos calcular a área dessa base. A fórmula para a área de um triângulo equilátero com lado $ l $ é:
Substituindo $ l = 2 $ cm:
Passo 4
Agora, vamos usar a informação da área lateral para encontrar a altura do prisma. A área lateral de um prisma reto é calculada pela fórmula:
Primeiro, vamos encontrar o perímetro da base, que é um triângulo equilátero:
Sabemos que $ A_{lateral} = 30 , cm^2 $, então:
Resolvendo para $ h $:
Passo 5
Agora que temos a área da base e a altura do prisma, podemos calcular o volume:
Resposta
O volume do prisma reto é $ 5\sqrt{3} , cm^3 $.