Um grande tanque de salmoura contendo uma solução de sal e água está sendo diluído em água doce. A relação entre o tempo decorrido,
, em horas, após o início da diluição e a concentração de sal no tanque,
, em gramas por litro
, é modelada pela seguinte função.
Quantas horas serão necessárias para que a concentração de sal diminua para
? Arredonde sua resposta, se necessário, para a segunda casa decimal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque grande de salmoura (que é basicamente água com sal) que está sendo diluído com água doce. A gente tem uma função que relaciona o tempo, $ t $, em horas, com a concentração de sal no tanque, $ S(t)
g/L $). A função é:
Precisamos descobrir quantas horas ($ t $) vão ser necessárias para que a concentração de sal caia para $ 100 , g/L $. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a função $ S(t) $ a $ 100 , g/L $:
Nosso objetivo é encontrar o valor de $ t $ que satisfaz essa equação.
Passo 3
Vamos isolar o termo que contém a exponencial. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 600:
Agora, a equação ficou mais simples:
Passo 4
Para resolver uma equação com uma exponencial, usamos o logaritmo natural, que é o inverso da função exponencial. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Sabemos que $ \ln(e^x) = x $, então simplificando:
Passo 5
Agora, queremos isolar $ t $. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por -0,3:
Sabemos que $ \ln\left(\frac{1}{6}\right) = -\ln(6) $, então substituindo:
Passo 6
Vamos calcular o valor numérico. Primeiro, calculamos $ \ln(6) $:
Agora, dividimos por 0,3:
Arredondando para a segunda casa decimal:
Resposta
Serão necessárias aproximadamente $ 5,97 $ horas para que a concentração de sal diminua para $ 100 , g/L $.