Um grande tanque de salmoura contendo uma solução de sal e água está sendo diluído em água doce. A relação entre o tempo decorrido, t, em horas, após o início da diluição e a concentração de sal no tanque, S(t), em gramas por litro (g/L), é modelada pela seguinte função. S(t)=600cdot e^-0,3t Quantas horas serão necessárias para que a concentração de sal diminua para 100 g/L? Arredonde sua resposta, se necessário, para a segunda casa decimal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque grande de salmoura (que é basicamente água com sal) que está sendo diluído com água doce. A gente tem uma função que relaciona o tempo, $ t $, em horas, com a concentração de sal no tanque, $ S(t) t g/L $). A função é:
S(t)
Precisamos descobrir quantas horas ($ t $) vão ser necessárias para que a concentração de sal caia para $ 100 , g/L $. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função $ S(t) $ a $ 100 , g/L $:
S(t)
Nosso objetivo é encontrar o valor de $ t $ que satisfaz essa equação.

Passo 3

Vamos isolar o termo que contém a exponencial. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 600:
e^-0,3t = 100600 = 16
Agora, a equação ficou mais simples:
e^-0,3t = 16

Passo 4

Para resolver uma equação com uma exponencial, usamos o logaritmo natural, que é o inverso da função exponencial. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
ln(e^-0,3t) = ln(16)
Sabemos que $ \ln(e^x) = x $, então simplificando:
ln(e^x) = x

Passo 5

Agora, queremos isolar $ t $. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por -0,3:
t
Sabemos que $ \ln\left(\frac{1}{6}\right) = -\ln(6) $, então substituindo:
t = ln(16)-0,3

Passo 6

Vamos calcular o valor numérico. Primeiro, calculamos $ \ln(6) $:
ln(6)
Agora, dividimos por 0,3:
ln(6) approx 1,79176
Arredondando para a segunda casa decimal:
t = 1,791760,3 approx 5,9725

Resposta

Serão necessárias aproximadamente $ 5,97 $ horas para que a concentração de sal diminua para $ 100 , g/L $.

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