Calcule o volume do sólido constituído pelo cilindro
, e pelo cone
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume de um sólido que é formado por duas partes: um cilindro e um cone. O cilindro tem a equação
e vai de
até
. Já o cone tem a equação
e vai de
até
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o volume de cilindros e cones usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do cilindro. A equação
descreve uma base circular com raio
(porque
). A altura
do cilindro vai de
até
, então
.
A fórmula para o volume de um cilindro é:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume do cone. A equação
descreve um cone com a base no plano
e o vértice em
. No nosso caso, o cone está de
até
, então estamos considerando apenas uma parte dele.
A fórmula para o volume de um cone é:
Aqui, precisamos encontrar o raio
e a altura
do cone na faixa de
a
.
No plano
, o raio do cone é
(porque
). No topo, em
, o raio é
(porque
). Então, a altura do cone nessa parte é
.
Substituindo na fórmula:
Resposta
O volume total do sólido é a soma dos volumes do cilindro e do cone:
Então, o volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Seja
a região limitada pelo parabolóide
, pelo plano
e pelos planos coordenados. Calcule o volume de
.
Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas (em
) que você achar mais conveniente:
Determine as derivadas parciais indicadas:
, onde
Use a regra da cadeia para calcular
:
e
.