Calcule o volume do sólido constituído pelo cilindro , e pelo cone .

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume de um sólido que é formado por duas partes: um cilindro e um cone. O cilindro tem a equação e vai de até . Já o cone tem a equação e vai de até . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o volume de cilindros e cones usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do cilindro. A equação descreve uma base circular com raio (porque ). A altura do cilindro vai de até , então .
A fórmula para o volume de um cilindro é:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume do cone. A equação descreve um cone com a base no plano e o vértice em . No nosso caso, o cone está de até , então estamos considerando apenas uma parte dele.
A fórmula para o volume de um cone é:
Aqui, precisamos encontrar o raio e a altura do cone na faixa de a .
No plano , o raio do cone é (porque ). No topo, em , o raio é (porque ). Então, a altura do cone nessa parte é .
Substituindo na fórmula:

Resposta

O volume total do sólido é a soma dos volumes do cilindro e do cone:
Então, o volume do sólido é unidades cúbicas.

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Seja a região limitada pelo parabolóide , pelo plano e pelos planos coordenados. Calcule o volume de .
Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas (em ) que você achar mais conveniente:
Determine as derivadas parciais indicadas: , onde
Use a regra da cadeia para calcular : e .