Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas (em
) que você achar mais conveniente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma integral tripla em
para resolver:
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas espaciais. Para resolver isso, vamos escolher o sistema de coordenadas que facilita os cálculos, que neste caso será o sistema de coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como transformar coordenadas cartesianas para cilíndricas e usar isso para simplificar nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada variável representa. Na integral original:
-
varia de 0 a 4, -
varia de 0 a 3, -
varia de 0 a .
Isso descreve uma região no primeiro octante onde
, que é um quarto de um cilindro de raio 3 e altura 4.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
permanece o mesmo.
As relações de transformação são:
Passo 4
Na mudança para coordenadas cilíndricas, a integral se transforma e precisamos incluir o Jacobiano dessa transformação, que é
. Além disso, a função
simplifica para
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral em etapas, começando pela mais interna:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 7
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido interno ao cilindro
, e externo ao cone
.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função:
Seja
a região limitada pelo parabolóide
, pelo plano
e pelos planos coordenados. Calcule o volume de
.
Calcule o volume do sólido constituído pelo cilindro
, e pelo cone
.