Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas (em ) que você achar mais conveniente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma integral tripla em para resolver:
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas espaciais. Para resolver isso, vamos escolher o sistema de coordenadas que facilita os cálculos, que neste caso será o sistema de coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como transformar coordenadas cartesianas para cilíndricas e usar isso para simplificar nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada variável representa. Na integral original:
  • varia de 0 a 4,
  • varia de 0 a 3,
  • varia de 0 a .
Isso descreve uma região no primeiro octante onde , que é um quarto de um cilindro de raio 3 e altura 4.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • permanece o mesmo.
As relações de transformação são:

Passo 4

Na mudança para coordenadas cilíndricas, a integral se transforma e precisamos incluir o Jacobiano dessa transformação, que é . Além disso, a função simplifica para . Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral em etapas, começando pela mais interna:

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a :

Passo 7

Por último, integramos em relação a :

Resposta

A integral vale .

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