Seja
a região limitada pelo parabolóide
, pelo plano
e pelos planos coordenados. Calcule o volume de
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de volume usando integrais múltiplas. A gente vai calcular o volume da região limitada pelo parabolóide
, pelo plano
e pelos planos coordenados (ou seja,
,
e
). Para isso, vamos precisar definir os limites de integração e montar a integral tripla que representa esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que queremos calcular. O parabolóide
abre para cima e está interceptado pelo plano
. Além disso, estamos considerando os planos coordenados, o que significa que x, y e z são não negativos. Visualizar isso ajuda a definir os limites das integrais.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para x e y. Como
, e x e y são positivos, os limites são:
-
varia de 0 a 1. - Para cada valor de
, varia de 0 até .
Passo 4
Agora, vamos definir a integral tripla para calcular o volume. A coordena z varia do plano coordenado
até o parabolóide
. Então, o volume
é dado por:
Como a integração em z é direta, podemos simplificar para uma integral dupla:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em y primeiro:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos em x:
Calculando cada termo:
Avaliado de 0 a 1:
Resposta
O volume da região
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas (em
) que você achar mais conveniente:
Calcule o volume do sólido interno ao cilindro
, e externo ao cone
.
Calcule o volume do sólido constituído pelo cilindro
, e pelo cone
.
Determine as derivadas parciais indicadas:
, onde