Seja a região limitada pelo parabolóide , pelo plano e pelos planos coordenados. Calcule o volume de .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume usando integrais múltiplas. A gente vai calcular o volume da região limitada pelo parabolóide , pelo plano e pelos planos coordenados (ou seja, , e ). Para isso, vamos precisar definir os limites de integração e montar a integral tripla que representa esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que queremos calcular. O parabolóide abre para cima e está interceptado pelo plano . Além disso, estamos considerando os planos coordenados, o que significa que x, y e z são não negativos. Visualizar isso ajuda a definir os limites das integrais.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para x e y. Como , e x e y são positivos, os limites são:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 até .

Passo 4

Agora, vamos definir a integral tripla para calcular o volume. A coordena z varia do plano coordenado até o parabolóide . Então, o volume é dado por:
Como a integração em z é direta, podemos simplificar para uma integral dupla:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em y primeiro:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos em x:
Calculando cada termo:
Avaliado de 0 a 1:

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas (em ) que você achar mais conveniente:
Calcule o volume do sólido interno ao cilindro , e externo ao cone .
Calcule o volume do sólido constituído pelo cilindro , e pelo cone .
Determine as derivadas parciais indicadas: , onde