No cálculo de integrais triplas podemos adotar diferentes sistemas de coordenadas que são selecionados de acordo com as características da região de integração, ou mesmo da função a ser integrada. Diante disso, considere a função f(x,y,z) = 1 e que a região G é delimitada por uma semiesfera de raio 1. Assinale a alternativa que contém o valor da integral da função f(x,y,z) sobre a região G. Escolha uma:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral tripla da função $ f(x, y, z) = 1 $ sobre uma região $ G $ que é uma semiesfera de raio 1. Vamos utilizar coordenadas esféricas, que são super úteis para regiões com simetria esférica. Para isso, precisamos entender como configurar a integral tripla nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
- $ \rho $: a distância do ponto até a origem.
- $ \theta $: o ângulo no plano xy, medindo a partir do eixo x.
- $ \phi $: o ângulo a partir do eixo z.
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
Passo 3
Agora, precisamos expressar o volume diferencial $ dV $ em coordenadas esféricas. Em esféricas, o volume é dado por:
Como a função $ f(x, y, z) = 1 $, a integral tripla se simplifica para:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração para a semiesfera de raio 1:
- $ \rho $ varia de 0 a 1 (raio da semiesfera).
- $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (cobrindo todo o círculo no plano xy).
- $ \phi $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ (pois queremos apenas a metade superior da esfera).
Passo 5
Agora, montamos a integral com esses limites:
Passo 6
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a $ \phi $:
Passo 8
Por último, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
Multiplicando todos os resultados:
Então, o valor da integral tripla é $ \frac{2}{3}\pi $.