No cálculo de integrais triplas podemos adotar diferentes sistemas de coordenadas que são selecionados de acordo com as características da região de integração, ou mesmo da função a ser integrada. Diante disso, considere a função f(x,y,z) = 1 e que a região G é delimitada por uma semiesfera de raio 1. Assinale a alternativa que contém o valor da integral da função f(x,y,z) sobre a região G. Escolha uma:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral tripla da função $ f(x, y, z) = 1 $ sobre uma região $ G $ que é uma semiesfera de raio 1. Vamos utilizar coordenadas esféricas, que são super úteis para regiões com simetria esférica. Para isso, precisamos entender como configurar a integral tripla nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
  • $ \rho $: a distância do ponto até a origem.
  • $ \theta $: o ângulo no plano xy, medindo a partir do eixo x.
  • $ \phi $: o ângulo a partir do eixo z.
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
rho
theta
phi

Passo 3

Agora, precisamos expressar o volume diferencial $ dV $ em coordenadas esféricas. Em esféricas, o volume é dado por:
dV
Como a função $ f(x, y, z) = 1 $, a integral tripla se simplifica para:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 4

Vamos definir os limites de integração para a semiesfera de raio 1:
  • $ \rho $ varia de 0 a 1 (raio da semiesfera).
  • $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (cobrindo todo o círculo no plano xy).
  • $ \phi $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ (pois queremos apenas a metade superior da esfera).

Passo 5

Agora, montamos a integral com esses limites:
integral0^2pi integral0^pi2 integral0^1 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
rho

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a $ \phi $:
phi

Passo 8

Por último, integramos em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
13 times 1 times 2pi = 23pi
Então, o valor da integral tripla é $ \frac{2}{3}\pi $.

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