Um grupo de estudantes verificou que o filamento de uma lâmpada incandescente apresenta uma resistência não linear, sendo menor para correntes pequenas do que para correntes elevadas. Este efeito ocorre devido ao efeito Joule produzido pela própria lâmpada. Para os estudos, foram considerados os dados da intensidade da corrente versus tempo. Dada uma corrente elétrica descrita pela equação e gráfico mostrados a seguir: i(t) = t^2 - 4t + 20, determine a carga elétrica que passa através do dispositivo no tempo de 4 a 8 segundos.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: temos uma corrente elétrica que varia com o tempo, dada pela equação $ i(t) = t^2 - 4t + 20 $. O objetivo é encontrar a carga elétrica que passa pela lâmpada entre 4 e 8 segundos. Para isso, vamos precisar saber sobre integração, já que a carga é a integral da corrente em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a carga elétrica $ Q $ que passa por um dispositivo em um intervalo de tempo pode ser calculada integrando a corrente $ i(t) $ nesse intervalo. A fórmula é:
No nosso caso, $ t_1 = 4 $ segundos e $ t_2 = 8 $ segundos.
Passo 3
Substituindo a expressão da corrente na integral, temos:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 4
Vamos separar a integral em três partes:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Avaliada de 4 a 8:
Passo 6
Calculando a segunda integral:
Avaliada de 4 a 8:
Passo 7
Calculando a terceira integral:
Avaliada de 4 a 8:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das integrais:
Vamos converter tudo para ter o mesmo denominador:
Resposta
A carga elétrica que passa através do dispositivo entre 4 e 8 segundos é $ \frac{400}{3} , C $ ou aproximadamente 133,33 Coulombs.