O calor desenvolvido, em calorias por grama, em uma mistura de cimento é, aproximadamente, normalmente distribuido. Acredita-se que a média seja 70 e o desvio-padrão 2. Você deseja testar versus com uma amostra de espécimes ( 3,0 pontos)
c) Encontre para o caso em que a média verdadeira do calor desenvolvido seja 75. Compare este valor de com aquele encon- trado no item (b). Explique a diferença, caso exista.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o , que é a probabilidade de cometer um erro do tipo II, quando a média verdadeira do calor desenvolvido é 75 calorias por grama. Estamos trabalhando com distribuição normal, onde a média é 70 e o desvio-padrão é 2. Além disso, temos uma amostra de tamanho . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de Teste de Hipóteses e Erros Tipo I e Tipo II.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o erro Tipo II (). Esse erro ocorre quando a gente não rejeita a hipótese nula () quando, na verdade, a hipótese alternativa () é verdadeira. No nosso caso, e .
Passo 3
Para encontrar o , precisamos definir uma região crítica para o teste, ou seja, os valores de (média amostral) que nos fariam rejeitar H0. Geralmente, usamos um nível de significância (alpha) para isso, que não foi especificado na questão. Vou assumir um alpha comum de 5% para exemplificar.
Passo 4
Com alpha = 0,05 e como o teste é bilateral (já que H1 é mu neq 70), dividimos o alpha igualmente nas duas caudas da distribuição. Então, cada cauda tem 2,5% da probabilidade. Usando a tabela da distribuição normal, encontramos os valores críticos:
Zalpha/2 = Z0,025 approx 1,96
Passo 5
Agora, convertendo esses valores de Z para a média amostral X:
X = mu pm Zalpha/2 cdot ( sigmaraizn )
Substituindo os valores:
X = 70 pm 1,96 cdot ( 2raiz5 ) approx 70 pm 1,75
Então, a região crítica é:
X < 68,25 ou X > 71,75
Passo 6
Agora, queremos encontrar a probabilidade de não rejeitar H0 quando a verdadeira média é 75. Isso significa que a média amostral está entre 68,25 e 71,75, mesmo sendo a verdadeira média 75. Vamos padronizar isso para calcular a probabilidade usando a distribuição normal.
Primeiro, calculamos os valores de Z correspondentes a 68,25 e 71,75, mas agora com mu = 75:
O valor de beta é aproximadamente 1,5%. Isso significa que há uma probabilidade de 1,5% de não rejeitarmos a hipótese nula H0: mu = 70 quando, na verdade, a média verdadeira é 75. Comparando com o item (b), onde provavelmente beta era maior, observamos que aumentando a diferença entre a média verdadeira e a hipótese nula, a probabilidade de cometer um erro Tipo II diminui.