O calor desenvolvido, em calorias por grama, em uma mistura de cimento é, aproximadamente, normalmente distribuido. Acredita-se que a média seja 70 e o desvio-padrão 2. Você deseja testar H0: mu=70 versus H1: mu=70 com uma amostra de n=5 espécimes ( 3,0 pontos)
c) Encontre beta para o caso em que a média verdadeira do calor desenvolvido seja 75. Compare este valor de beta com aquele encon- trado no item (b). Explique a diferença, caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o beta, que é a probabilidade de cometer um erro do tipo II, quando a média verdadeira do calor desenvolvido é 75 calorias por grama. Estamos trabalhando com distribuição normal, onde a média mu é 70 e o desvio-padrão sigma é 2. Além disso, temos uma amostra de tamanho n = 5. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de Teste de Hipóteses e Erros Tipo I e Tipo II.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o erro Tipo II ( beta). Esse erro ocorre quando a gente não rejeita a hipótese nula ( H0) quando, na verdade, a hipótese alternativa ( H1) é verdadeira. No nosso caso, H0: mu = 70 e H1: mu neq 70.

Passo 3

Para encontrar o beta, precisamos definir uma região crítica para o teste, ou seja, os valores de X (média amostral) que nos fariam rejeitar H0. Geralmente, usamos um nível de significância ( alpha) para isso, que não foi especificado na questão. Vou assumir um alpha comum de 5% para exemplificar.

Passo 4

Com alpha = 0,05 e como o teste é bilateral (já que H1 é mu neq 70), dividimos o alpha igualmente nas duas caudas da distribuição. Então, cada cauda tem 2,5% da probabilidade. Usando a tabela da distribuição normal, encontramos os valores críticos:
Zalpha/2 = Z0,025 approx 1,96

Passo 5

Agora, convertendo esses valores de Z para a média amostral X:
X = mu pm Zalpha/2 cdot ( sigmaraizn )
Substituindo os valores:
X = 70 pm 1,96 cdot ( 2raiz5 ) approx 70 pm 1,75
Então, a região crítica é:
X < 68,25 ou X > 71,75

Passo 6

Agora, queremos encontrar a probabilidade de não rejeitar H0 quando a verdadeira média é 75. Isso significa que a média amostral está entre 68,25 e 71,75, mesmo sendo a verdadeira média 75. Vamos padronizar isso para calcular a probabilidade usando a distribuição normal.
Primeiro, calculamos os valores de Z correspondentes a 68,25 e 71,75, mas agora com mu = 75:
Z1 = 68,25 - 752/raiz5 approx -6,750,894 approx -7,56
Z2 = 71,75 - 752/raiz5 approx -3,250,894 approx -3,64

Passo 7

Agora, vamos encontrar a probabilidade de Z estar entre -7,56 e -3,64. Usando a tabela da distribuição normal:
P(Z < -3,64) approx 0,00015
P(Z < -7,56) approx 0,00000002
Então,
P(-7,56 < Z < -3,64) approx 0,00015 - 0,00000002 approx 0,00015
Isso significa que beta approx 0,015, ou 1,5%.

Resposta

O valor de beta é aproximadamente 1,5%. Isso significa que há uma probabilidade de 1,5% de não rejeitarmos a hipótese nula H0: mu = 70 quando, na verdade, a média verdadeira é 75. Comparando com o item (b), onde provavelmente beta era maior, observamos que aumentando a diferença entre a média verdadeira e a hipótese nula, a probabilidade de cometer um erro Tipo II diminui.

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