Na porta de um supermercado foi realizada uma enquete com 100 pessoas sobre três produtos. As respostas foram: 10 pessoas compram somente o produto A, 30 pessoas compram somente o produto B, 15 pessoas compram somente o produto C, 8 pessoas compram A e B, 5 pessoas compram A e C, 6 pessoas compram B e C, e 4 compram os três produtos.
Quantas pessoas compram pelo menos um dos três produtos?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente fez uma enquete com 100 pessoas sobre três produtos: A, B e C. As respostas mostraram quantas pessoas compraram cada combinação desses produtos. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas pessoas compraram pelo menos um desses três produtos. Para resolver isso, vamos usar um conceito de conjuntos na matemática, conhecido como Princípio da Inclusão-Exclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os números que a gente tem:
  • 10 pessoas compraram somente o produto A.
  • 30 pessoas compraram somente o produto B.
  • 15 pessoas compraram somente o produto C.
  • 8 pessoas compraram tanto o produto A quanto o B.
  • 5 pessoas compraram tanto o produto A quanto o C.
  • 6 pessoas compraram tanto o produto B quanto o C.
  • 4 pessoas compraram os três produtos.

Passo 3

Agora, para encontrar o total de pessoas que compraram pelo menos um dos produtos, a gente precisa somar todas essas categorias, mas cuidado! Algumas pessoas foram contadas mais de uma vez porque compraram mais de um produto. Para evitar esse erro, vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão.

Passo 4

O Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos diz que:
|A cup B cup C| = |A| + |B| + |C| - |A cap B| - |A cap C| - |B cap C| + |A cap B cap C|
Onde:
  • |A| é o número de pessoas que compraram o produto A (incluindo as que compraram juntamente com outros).
  • |B| é o número de pessoas que compraram o produto B.
  • |C| é o número de pessoas que compraram o produto C.
  • |A cap B| é o número de pessoas que compraram tanto A quanto B.
  • |A cap C| é o número de pessoas que compraram tanto A quanto C.
  • |B cap C| é o número de pessoas que compraram tanto B quanto C.
  • |A cap B cap C| é o número de pessoas que compraram os três produtos.

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  • |A| = 10 (somente A) + 8 (A e B) + 5 (A e C) + 4 (A, B e C) = 27
  • |B| = 30 (somente B) + 8 (A e B) + 6 (B e C) + 4 (A, B e C) = 48
  • |C| = 15 (somente C) + 5 (A e C) + 6 (B e C) + 4 (A, B e C) = 30
  • |A cap B| = 8 (A e B) + 4 (A, B e C) = 12
  • |A cap C| = 5 (A e C) + 4 (A, B e C) = 9
  • |B cap C| = 6 (B e C) + 4 (A, B e C) = 10
  • |A cap B cap C| = 4

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula:
|A cup B cup C| = 27 + 48 + 30 - 12 - 9 - 10 + 4
Vamos fazer as contas passo a passo:
  1. Somar |A|, |B| e |C|: 27 + 48 + 30 = 105
  2. Subtrair |A cap B|, |A cap C| e |B cap C|: 105 - 12 - 9 - 10 = 74
  3. Adicionar |A cap B cap C|: 74 + 4 = 78

Resposta

Então, 78 pessoas compraram pelo menos um dos três produtos.

Exercícios relacionados