Na porta de um supermercado foi realizada uma enquete com 100 pessoas sobre três produtos. As respostas foram: 10 pessoas compram somente o produto
, 30 pessoas compram somente o produto
, 15 pessoas compram somente o produto
, 8 pessoas compram
e
, 5 pessoas compram
e
, 6 pessoas compram B e C, e 4 compram os três produtos.
Quantas pessoas compram pelo menos um dos três produtos?
Quantas pessoas compram pelo menos um dos três produtos?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente fez uma enquete com 100 pessoas sobre três produtos: A, B e C. As respostas mostraram quantas pessoas compraram cada combinação desses produtos. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas pessoas compraram pelo menos um desses três produtos. Para resolver isso, vamos usar um conceito de conjuntos na matemática, conhecido como Princípio da Inclusão-Exclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os números que a gente tem:
- 10 pessoas compraram somente o produto
. - 30 pessoas compraram somente o produto
. - 15 pessoas compraram somente o produto
. - 8 pessoas compraram tanto o produto
quanto o . - 5 pessoas compraram tanto o produto
quanto o . - 6 pessoas compraram tanto o produto
quanto o . - 4 pessoas compraram os três produtos.
Passo 3
Agora, para encontrar o total de pessoas que compraram pelo menos um dos produtos, a gente precisa somar todas essas categorias, mas cuidado! Algumas pessoas foram contadas mais de uma vez porque compraram mais de um produto. Para evitar esse erro, vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão.
Passo 4
O Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos diz que:
Onde:
-
é o número de pessoas que compraram o produto A (incluindo as que compraram juntamente com outros). -
é o número de pessoas que compraram o produto B. -
é o número de pessoas que compraram o produto C. -
é o número de pessoas que compraram tanto A quanto B. -
é o número de pessoas que compraram tanto A quanto C. -
é o número de pessoas que compraram tanto B quanto C. -
é o número de pessoas que compraram os três produtos.
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
-
(somente A) + (A e B) + (A e C) + (A, B e C) = -
(somente B) + (A e B) + (B e C) + (A, B e C) = -
(somente C) + (A e C) + (B e C) + (A, B e C) = -
(A e B) + (A, B e C) = -
(A e C) + (A, B e C) = -
(B e C) + (A, B e C) = -
Passo 6
Aplicando os valores na fórmula:
Vamos fazer as contas passo a passo:
- Somar
, e : - Subtrair
, e : - Adicionar
:
Resposta
Então, 78 pessoas compraram pelo menos um dos três produtos.