O calor desenvolvido, em calorias por grama, em uma mistura de cimento é, aproximadamente, normalmente distribuido. Acredita-se que a média seja 70 e o desvio-padrão 2. Você deseja testar H0: mu=70 versus H1: mu=70 com uma amostra de n=5 espécimes ( 3,0 pontos)
b) Encontre beta para o caso em que a média verdadeira do calor desenvolvido seja 73 .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! Temos uma mistura de cimento onde o calor desenvolvido por grama segue uma distribuição normal. A média esperada desse calor é de 70 calorias por grama, com um desvio-padrão de 2 calorias. Queremos testar a hipótese nula H0: mu = 70 contra a hipótese alternativa H1: mu neq 70 usando uma amostra de 5 espécimes. A parte b) da questão nos pede para encontrar o beta, que é a probabilidade de cometer um erro do tipo II, ou seja, não rejeitar a hipótese nula quando a verdadeira média é 73 calorias por grama.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o beta. O beta representa a probabilidade de não rejeitarmos a hipótese nula H0 quando, na verdade, a média verdadeira mu é diferente de 70 (no caso, 73). Para encontrar isso, precisamos determinar a região de aceitação da nossa hipótese de teste e depois calcular a probabilidade de o valor da média da amostra cair dentro dessa região quando mu = 73.

Passo 3

Vamos assumir que estamos usando um teste de duas caudas com um nível de significância comum, digamos alpha = 0,05. Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 5% de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Em um teste de duas caudas, essa probabilidade é dividida igualmente entre as duas extremidades da distribuição.

Passo 4

Como a distribuição do calor desenvolvido é normal com mu = 70 e sigma = 2, a média da amostra X também seguirá uma distribuição normal com média mu = 70 e desvio-padrão sigmaX = sigmaraizn = 2raiz5 approx 0,8944.

Passo 5

Para encontrar os valores críticos que definem a região de rejeição, usamos a distribuição normal padrão. Para alpha = 0,05 em um teste de duas caudas, cada cauda terá alpha2 = 0,025. Procuramos os valores z que correspondem a essas probabilidades:
zalpha/2 = 1,96

Passo 6

Convertendo esses valores z para os valores de X, temos:
Xcrítico inferior = mu + zalpha/2 cdot sigmaX = 70 - 1,96 cdot 0,8944 approx 68,26 í
Xcrítico superior = mu + zalpha/2 cdot sigmaX = 70 + 1,96 cdot 0,8944 approx 71,74 í
Então, nossa região de aceitação é quando a média da amostra está entre 68,26 e 71,74.

Passo 7

Agora, queremos encontrar a probabilidade de X estar entre 68,26 e 71,74 quando a verdadeira média é 73. Para isso, padronizamos esses valores usando a média verdadeira e o desvio-padrão da amostra:
z1 = 68,26 - 730,8944 approx -4,740,8944 approx -5,30
z2 = 71,74 - 730,8944 approx -1,260,8944 approx -1,41

Passo 8

Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores z:
P(Z < -1,41) approx 0,0793
P(Z < -5,30) approx 0
A probabilidade de X estar entre 68,26 e 71,74 quando mu = 73 é:
beta = P(-5,30 < Z < -1,41) = P(Z < -1,41) - P(Z < -5,30) approx 0,0793 - 0 = 0,0793

Resposta

O beta é aproximadamente 0,0793, ou seja, há cerca de 7,93% de chance de não rejeitarmos a hipótese nula quando a verdadeira média é 73 calorias por grama.

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