O calor desenvolvido, em calorias por grama, em uma mistura de cimento é, aproximadamente, normalmente distribuído. Acredita-se que a média seja 70 e o desvio-padrão 2. Você deseja testar H0: mu=70 versus H: mu=70 com uma amostra de n=5 espécimes.
a) Se a região de aceitação é definida como 68,5 <= x <= 71,5, encontre a probabilidade alpha de erro tipo I.
b) Encontre beta para o caso em que a média verdadeira do calor desenvolvido seja 73.
c) Encontre beta para o caso em que a média verdadeira do calor desenvolvido seja 75. Compare este valor de beta com aquele encontrado no item (b). Explique a diferença, caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o calor desenvolvido em uma mistura de cimento, que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 70 $ calorias por grama e desvio-padrão $ \sigma = 2 $. A gente vai testar a hipótese $ H_0: \mu = 70 $ contra $ H_1: \mu \neq 70 $ usando uma amostra de $ n = 5 $ espécimes. Precisamos calcular as probabilidades de erro tipo I ($ \alpha mu = 70 \beta $) em diferentes cenários.

Passo 2

Item a) A região de aceitação é definida como $ 68,5 \leq \bar{x} \leq 71,5 68,5 <= barx <= 71,5 \alpha $), que é a chance de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Primeiro, vamos entender que $ \bar{x} $, a média amostral, também segue uma distribuição normal com média $ \mu = 70 $ e desvio-padrão $ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0,8944 $.
A probabilidade $ \alpha $ é a soma das probabilidades de $ \bar{x} $ ficar abaixo de 68,5 ou acima de 71,5 quando $ \mu = 70 $.

Passo 3

Vamos calcular os valores z para os limites da região de aceitação:
z1 = 68,5 - 700,8944 approx -1,673
z2 = 71,5 - 700,8944 approx 1,673
Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores z.

Passo 4

A probabilidade de $ \bar{x} < 68,5 $ é igual à probabilidade de $ z < -1,673 $, que é aproximadamente 0,047 (ou 4,7%). Da mesma forma, a probabilidade de $ \bar{x} > 71,5 $ é a mesma, 0,047.
Então, a probabilidade total de erro tipo I ($ \alpha $) é:
barx < 68,5

Passo 5

Item b) Agora, queremos encontrar $ \beta $ quando a média verdadeira $ \mu = 73 $. $ \beta $ é a probabilidade de não rejeitarmos $ H_0 $ quando $ H_0 $ é falsa, ou seja, $ 68,5 \leq \bar{x} \leq 71,5 $ quando $ \mu = 73 $.
Primeiro, atualizamos a distribuição de $ \bar{x} $ com $ \mu = 73 $:
beta
Em seguida, calculamos os valores z para 68,5 e 71,5:
mu = 73
beta

Passo 6

Usando a tabela da distribuição normal padrão:
P(barx >= 68,5) approx 1 (porque z = -5 é bem na cauda esquerda)
P(barx <= 71,5) approx P(z <= -1,684) approx 0,0468
Então, $ \beta $ é aproximadamente 0,0468 ou 4,68%.

Passo 7

Item c) Agora, queremos encontrar $ \beta $ quando a média verdadeira $ \mu = 75 $. Vamos repetir o processo do item b.
A distribuição de $ \bar{x} $ agora é:
beta
Calculamos os valores z para 68,5 e 71,5:
mu = 75
barx

Passo 8

Usando a tabela da distribuição normal padrão:
P(barx >= 68,5) approx 1
P(barx <= 71,5) approx P(z <= -3,95) approx 0,00004
Então, $ \beta $ é aproximadamente 0,00004 ou 0,004%.
Comparando com o item b, onde $ \beta \approx 4,68% $, vemos que $ \beta $ diminuiu quando a média verdadeira aumentou para 75. Isso acontece porque, quanto mais a média verdadeira se afasta da hipótese nula, menor a chance de não rejeitarmos $ H_0 $.

Resposta

a) $ \alpha \approx 9,4% $
b) $ \beta \approx 4,68% $ quando $ \mu = 73 $
c) $ \beta \approx 0,004% $ quando $ \mu = 75 $. Observa-se que $ \beta $ diminuiu significativamente de 4,68% para 0,004% à medida que a média verdadeira aumentou de 73 para 75, indicando que é menos provável não rejeitar $ H_0 $ quando a diferença da média verdadeira em relação à hipótese nula é maior.

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