O calor desenvolvido, em calorias por grama, em uma mistura de cimento é, aproximadamente, normalmente distribuído. Acredita-se que a média seja 70 e o desvio-padrão 2. Você deseja testar
versus
com uma amostra de
espécimes.
a) Se a região de aceitação é definida como
, encontre a probabilidade
de erro tipo I.
b) Encontre
para o caso em que a média verdadeira do calor desenvolvido seja 73.
c) Encontre
para o caso em que a média verdadeira do calor desenvolvido seja 75. Compare este valor de
com aquele encontrado no item (b). Explique a diferença, caso exista.
a) Se a região de aceitação é definida como
b) Encontre
c) Encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o calor desenvolvido em uma mistura de cimento, que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 70 $ calorias por grama e desvio-padrão $ \sigma = 2 $. A gente vai testar a hipótese $ H_0: \mu = 70 $ contra $ H_1: \mu \neq 70 $ usando uma amostra de $ n = 5 $ espécimes. Precisamos calcular as probabilidades de erro tipo I ($ \alpha
\beta $) em diferentes cenários.
Passo 2
Item a) A região de aceitação é definida como $ 68,5 \leq \bar{x} \leq 71,5
\alpha $), que é a chance de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Primeiro, vamos entender que $ \bar{x} $, a média amostral, também segue uma distribuição normal com média $ \mu = 70 $ e desvio-padrão $ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0,8944 $.
A probabilidade $ \alpha $ é a soma das probabilidades de $ \bar{x} $ ficar abaixo de 68,5 ou acima de 71,5 quando $ \mu = 70 $.
Passo 3
Vamos calcular os valores z para os limites da região de aceitação:
Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores z.
Passo 4
A probabilidade de $ \bar{x} < 68,5 $ é igual à probabilidade de $ z < -1,673 $, que é aproximadamente 0,047 (ou 4,7%). Da mesma forma, a probabilidade de $ \bar{x} > 71,5 $ é a mesma, 0,047.
Então, a probabilidade total de erro tipo I ($ \alpha $) é:
Passo 5
Item b) Agora, queremos encontrar $ \beta $ quando a média verdadeira $ \mu = 73 $. $ \beta $ é a probabilidade de não rejeitarmos $ H_0 $ quando $ H_0 $ é falsa, ou seja, $ 68,5 \leq \bar{x} \leq 71,5 $ quando $ \mu = 73 $.
Primeiro, atualizamos a distribuição de $ \bar{x} $ com $ \mu = 73 $:
Em seguida, calculamos os valores z para 68,5 e 71,5:
Passo 6
Usando a tabela da distribuição normal padrão:
Então, $ \beta $ é aproximadamente 0,0468 ou 4,68%.
Passo 7
Item c) Agora, queremos encontrar $ \beta $ quando a média verdadeira $ \mu = 75 $. Vamos repetir o processo do item b.
A distribuição de $ \bar{x} $ agora é:
Calculamos os valores z para 68,5 e 71,5:
Passo 8
Usando a tabela da distribuição normal padrão:
Então, $ \beta $ é aproximadamente 0,00004 ou 0,004%.
Comparando com o item b, onde $ \beta \approx 4,68% $, vemos que $ \beta $ diminuiu quando a média verdadeira aumentou para 75. Isso acontece porque, quanto mais a média verdadeira se afasta da hipótese nula, menor a chance de não rejeitarmos $ H_0 $.
Resposta
a) $ \alpha \approx 9,4% $
b) $ \beta \approx 4,68% $ quando $ \mu = 73 $
c) $ \beta \approx 0,004% $ quando $ \mu = 75 $. Observa-se que $ \beta $ diminuiu significativamente de 4,68% para 0,004% à medida que a média verdadeira aumentou de 73 para 75, indicando que é menos provável não rejeitar $ H_0 $ quando a diferença da média verdadeira em relação à hipótese nula é maior.