Para verificar a viabilidade de incluir os resíduos da queima de carvão mineral na composição do cimento, foram feitos ensaios com cimento contendo de 0 a
de cinza de carvão; e medida a resistência à compressão (em MPa ), após 28 dias. Os resultados foram os seguintes:
Carvão (%):
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Resistência (MPa):
38,5
40,2
42,1
37,5
41,1
36,9
38,2
36,7
39,5
35,9
Teste se o coeficiente angular pode ser zero. Use
.
Carvão (%): | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Resistência (MPa): | 38,5 | 40,2 | 42,1 | 37,5 | 41,1 | 36,9 | 38,2 | 36,7 | 39,5 | 35,9 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O objetivo dessa questão é verificar se a quantidade de cinza de carvão adicionada ao cimento afeta realmente a resistência desse cimento após 28 dias. Para isso, vamos analisar os dados fornecidos usando estatística, especificamente o teste de hipótese sobre o coeficiente angular em uma regressão linear. Precisamos usar conceitos de regressão linear, cálculo de coeficientes e testes de significância com um nível de confiança de
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Vamos calcular alguns valores importantes: soma de
, soma de
, soma de
e soma de
.
Passo 3
Vamos lá:
-
Somatório de
( ): -
Somatório de
( ): -
Somatório de
( ): -
Somatório de
( ):
Passo 4
Agora, vamos encontrar o coeficiente angular (
) da reta de regressão usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular o intercepto (
) da reta de regressão usando:
Primeiro, encontramos as médias:
Então:
Nossa equação de regressão fica:
Passo 6
Agora, vamos testar se o coeficiente angular (
) é significativamente diferente de zero. Para isso, usamos o teste t:
Primeiro, calculamos o erro padrão de
(
). Isso envolve alguns passos:
-
Calcular a soma dos resíduos ao quadrado (SSe):Após substituir cada
na equação de regressão e calcular os resíduos ( ), somamos os quadrados desses resíduos: -
Calcular a variância dos resíduos (
): -
Calcular
: -
Calcular o erro padrão de
:
Agora, calculamos o valor de
:
Passo 7
Com o valor de
e graus de liberdade
, consultamos uma tabela de distribuição
e encontramos o valor crítico para
(teste bicaudal):
Como
está dentro do intervalo
a
, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Não há evidência suficiente para afirmar que o coeficiente angular é diferente de zero com um nível de significância de 5 %. Portanto, o coeficiente angular pode ser zero.