Para verificar a viabilidade de incluir os resíduos da queima de carvão mineral na composição do cimento, foram feitos ensaios com cimento contendo de 0 a 9 % de cinza de carvão; e medida a resistência à compressão (em MPa ), após 28 dias. Os resultados foram os seguintes:
Carvão (%): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Resistência (MPa): 38,5 40,2 42,1 37,5 41,1 36,9 38,2 36,7 39,5 35,9
Teste se o coeficiente angular pode ser zero. Use lcccccccccc hline Carvão (%): & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 cline 2 - 10 Resistência (MPa): & 38,5 & 40,2 & 42,1 & 37,5 & 41,1 & 36,9 & 38,2 & 36,7 & 39,5 & 35,9 hline .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O objetivo dessa questão é verificar se a quantidade de cinza de carvão adicionada ao cimento afeta realmente a resistência desse cimento após 28 dias. Para isso, vamos analisar os dados fornecidos usando estatística, especificamente o teste de hipótese sobre o coeficiente angular em uma regressão linear. Precisamos usar conceitos de regressão linear, cálculo de coeficientes e testes de significância com um nível de confiança de alpha = 0,05.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
|c|c| hline Carvão (%) & Resistência (MPa) hline 0 & 38,5 1 & 40,2 2 & 42,1 3 & 37,5 4 & 41,1 5 & 36,9 6 & 38,2 7 & 36,7 8 & 39,5 9 & 35,9 hline ãê
Vamos calcular alguns valores importantes: soma de x, soma de y, soma de x cdot y e soma de x^2.

Passo 3

Vamos lá:
  • Somatório de x ( sum x):
    0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
  • Somatório de y ( sum y):
    38,5 + 40,2 + 42,1 + 37,5 + 41,1 + 36,9 + 38,2 + 36,7 + 39,5 + 35,9 = 386,6
  • Somatório de x cdot y ( sum xy):
    (0 times 38,5) + (1 times 40,2) + dots + (9 times 35,9) = 1711,0
  • Somatório de x^2 ( sum x^2):
    0^2 + 1^2 + dots + 9^2 = 285

Passo 4

Agora, vamos encontrar o coeficiente angular ( b) da reta de regressão usando a fórmula:
b = n sum xy - sum x sum yn sum x^2 - (sum x)^2
Substituindo os valores:
b = 10 times 1711,0 - 45 times 386,610 times 285 - 45^2 = 17110 - 173972850 - 2025 = -287825 approx -0,348

Passo 5

Vamos calcular o intercepto ( a) da reta de regressão usando:
a = bary - b barx
Primeiro, encontramos as médias:
barx = 4510 = 4,5 e bary = 386,610 = 38,66
Então:
a = 38,66 - (-0,348 times 4,5) = 38,66 + 1,566 = 40,226
Nossa equação de regressão fica:
y = 40,226 - 0,348x

Passo 6

Agora, vamos testar se o coeficiente angular ( b) é significativamente diferente de zero. Para isso, usamos o teste t:
t = bSEb
Primeiro, calculamos o erro padrão de b ( SEb). Isso envolve alguns passos:
  1. Calcular a soma dos resíduos ao quadrado (SSe):
    Após substituir cada x na equação de regressão e calcular os resíduos ( yi - yi), somamos os quadrados desses resíduos:
    SSe approx 26,84
  2. Calcular a variância dos resíduos ( s^2):
    s^2 = SSen - 2 = 26,848 approx 3,355
  3. Calcular Sxx:
    Sxx = sum x^2 - (sum x)^2n = 285 - 45^210 = 285 - 202,5 = 82,5
  4. Calcular o erro padrão de b:
    SEb = raizs^2Sxx = raiz3,35582,5 approx 0,2017
Agora, calculamos o valor de t:
t = -0,3480,2017 approx -1,725

Passo 7

Com o valor de t approx -1,725 e graus de liberdade df = n - 2 = 8, consultamos uma tabela de distribuição t e encontramos o valor crítico para alpha = 0,05 (teste bicaudal):
tcrítico approx pm 2,306 í
Como -1,725 está dentro do intervalo -2,306 a 2,306, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para afirmar que o coeficiente angular é diferente de zero com um nível de significância de 5 %. Portanto, o coeficiente angular pode ser zero.

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