O diâmetro de cilindros de aço manufaturados em duas máquinas diferentes está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos n1=15 e n2=17 são selecionadas. Médias e variâncias amostrais são x=8,73, s^2=0,34, x=8,68, s^2=0,39.
a) Construa um intervalo de confiança bilateral de 90 %.
b) Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 %.
c) Construa um intervalo de confiança inferior de 90 %.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois grupos de cilindros de aço fabricados por duas máquinas diferentes. Para cada máquina, temos uma amostra com tamanho n1=15 e n2=17, médias das amostras x1=8,73 e x2=8,68, e variâncias amostrais s1^2=0,34 e s2^2=0,39. O que precisamos fazer é construir intervalos de confiança para comparar as médias desses dois grupos. Vamos precisar usar conceitos de estatística sobre intervalos de confiança para a diferença entre duas médias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que um intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores plausíveis para a diferença real entre as médias das duas máquinas. No caso, vamos calcular a diferença mu1 - mu2 onde mu1 e mu2 são as médias das populações das máquinas 1 e 2, respectivamente.

Passo 3

Como temos duas amostras independentes e as variâncias são diferentes, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a diferença entre duas médias com variâncias desconhecidas e possivelmente diferentes. A fórmula geral é:
(barx1 - barx2) pm talpha/2 times raizs1^2n1 + s2^2n2
Aqui, barx1 e barx2 são as médias das amostras, s1^2 e s2^2 são as variâncias amostrais, n1 e n2 são os tamanhos das amostras, e talpha/2 é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança desejado.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da diferença das médias:
SE = raiz0,3415 + 0,3917 = raiz0,0227 + 0,0229 = raiz0,0456 approx 0,2136

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico talpha/2. Como as amostras são pequenas, usamos a distribuição t de Student. Primeiro, calculamos os graus de liberdade usando a fórmula de Welch:
df = (s1^2n1 + s2^2n2)^2(s1^2n1)^2n1 - 1 + (s2^2n2)^2n2 - 1 = (0,0227 + 0,0229)^20,0227^214 + 0,0229^216 approx 0,0456^20,0000345 + 0,0000327 approx 0,0020770,0000672 approx 30,878
Arredondando, temos df approx 31.

Passo 6

Para o item (a), queremos um intervalo de confiança bilateral de 90%. Isso significa que alpha = 0,10 e alpha/2 = 0,05. Consultando a tabela t de Student com 31 graus de liberdade, encontramos t0,05 approx 1,696.

Passo 7

Aplicando a fórmula do intervalo de confiança:
(barx1 - barx2) pm talpha/2 times SE = (8,73 - 8,68) pm 1,696 times 0,2136
Calculando a diferença das médias:
8,73 - 8,68 = 0,05
Calculando a margem de erro:
1,696 times 0,2136 approx 0,3623
Então, o intervalo de confiança é:
0,05 pm 0,3623 Rightarrow (-0,3123, 0,4123)

Resposta

O intervalo de confiança bilateral de 90% para a diferença entre as médias das duas máquinas é aproximadamente (-0,31, , 0,41).

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