O diâmetro de cilindros de aço manufaturados em duas máquinas diferentes está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos
e
são selecionadas. Médias e variâncias amostrais são
,
.
a) Construa um intervalo de confiança bilateral de 90 %.
b) Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 %.
c) Construa um intervalo de confiança inferior de 90 %.
a) Construa um intervalo de confiança bilateral de 90 %.
b) Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 %.
c) Construa um intervalo de confiança inferior de 90 %.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois grupos de cilindros de aço fabricados por duas máquinas diferentes. Para cada máquina, temos uma amostra com tamanho
e
, médias das amostras
e
, e variâncias amostrais
e
. O que precisamos fazer é construir intervalos de confiança para comparar as médias desses dois grupos. Vamos precisar usar conceitos de estatística sobre intervalos de confiança para a diferença entre duas médias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que um intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores plausíveis para a diferença real entre as médias das duas máquinas. No caso, vamos calcular a diferença
onde
e
são as médias das populações das máquinas 1 e 2, respectivamente.
Passo 3
Como temos duas amostras independentes e as variâncias são diferentes, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a diferença entre duas médias com variâncias desconhecidas e possivelmente diferentes. A fórmula geral é:
Aqui,
e
são as médias das amostras,
e
são as variâncias amostrais,
e
são os tamanhos das amostras, e
é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança desejado.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da diferença das médias:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico
. Como as amostras são pequenas, usamos a distribuição t de Student. Primeiro, calculamos os graus de liberdade usando a fórmula de Welch:
Arredondando, temos
.
Passo 6
Para o item (a), queremos um intervalo de confiança bilateral de 90%. Isso significa que
e
. Consultando a tabela t de Student com 31 graus de liberdade, encontramos
.
Passo 7
Aplicando a fórmula do intervalo de confiança:
Calculando a diferença das médias:
Calculando a margem de erro:
Então, o intervalo de confiança é:
Resposta
O intervalo de confiança bilateral de 90% para a diferença entre as médias das duas máquinas é aproximadamente
.