(2,0 p) O calor específico de uma substância varia com a temperatura de acordo com a equação c=0,20+0,15 times T+0,026 times T^2, com T em ^circ C e c em cal / g ^circ C. Qual a energia necessária para elevar a temperatura de 7,0 g desta substância de 5^circ C para 35^circ C ?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma substância cujo calor específico c = 0,20 + 0,15 times T + 0,026 times T^2 varia com a temperatura segundo a fórmula:
Queremos descobrir quanta energia é necessária para aquecer 7,0 g dessa substância de 5°C para 35°C. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da energia térmica que leva em conta a variação do calor específico com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a energia necessária Q = m times integralT1^T2 c(T) , dT para aquecer uma substância é dada por:
onde:
  • é a massa da substância,
  • é o calor específico em função da temperatura,
  • é a temperatura inicial,
  • é a temperatura final.

Passo 3

Vamos substituir Q = 7,0 times integral5^35 (0,20 + 0,15T + 0,026T^2) , dT na fórmula da energia:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Integrando cada termo:
integral (0,20) , dT = 0,20T integral (0,15T) , dT = 0,15 times T^22 = 0,075T^2 integral (0,026T^2) , dT = 0,026 times T^33 approx 0,00867T^3

Passo 5

Agora, avaliamos as integrais no intervalo de 5°C a 35°C:
0,20T |5^35 = 0,20 times (35 - 5) = 0,20 times 30 = 6 0,075T^2 |5^35 = 0,075 times (35^2 - 5^2) = 0,075 times (1225 - 25) = 0,075 times 1200 = 90 0,00867T^3 |5^35 = 0,00867 times (35^3 - 5^3) = 0,00867 times (42875 - 125) = 0,00867 times 42750 approx 370,3925

Passo 6

Somando todas as contribuições:
6 + 90 + 370,3925 = 466,3925 cal
Multiplicando pela massa:
Q = 7,0 times 466,3925 approx 3264,7475 cal

Resposta

A energia necessária para elevar a temperatura de 7,0 g da substância de 5°C para 35°C é aproximadamente 3265 cal.

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