O diâmetro angular aparente do Sol visto da Terra (ângulo submetido pelo disco solar ) é de
. A constante gravitacional é
. Utilizando apenas estes dados, juntamente com o periodo da orbital da Terra em torno do Sol, aproximados por um círculo, calcule a densidade média do Sol.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre calcular a densidade média do Sol usando o diâmetro angular aparente que vemos daqui da Terra, a constante gravitacional e o período orbital da Terra. Basicamente, vamos usar conceitos de astronomia e física, como a Lei da Gravitação Universal de Newton e o movimento orbital. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas que relacionam força gravitacional, massa, raio orbital e densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o diâmetro angular aparente. É o ângulo que o Sol subtende no céu, que aqui é dado como
. Sabendo disso, podemos calcular o raio real do Sol se conhecermos a distância da Terra ao Sol. Mas antes, precisamos encontrar a massa do Sol usando a Lei da Gravitação Universal.
Passo 3
A Lei da Gravitação Universal de Newton é dada por:
onde:
-
é a força gravitacional, -
é a constante gravitacional, -
é a massa do Sol, -
é a massa da Terra, -
é a distância entre a Terra e o Sol.
Mas também sabemos que a força centrípeta necessária para a Terra manter-se em órbita é:
onde
é a velocidade orbital da Terra.
Passo 4
Igualando as duas expressões da força
:
Podemos simplificar cancelando
e uma potência de
:
Passo 5
Sabemos que a velocidade orbital
pode ser relacionada com o período orbital
(um ano) e a distância
pela circunferência da órbita:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
E, isolando
:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar o diâmetro angular aparente com a distância
para encontrar o raio do Sol
. O diâmetro real do Sol
está relacionado ao diâmetro angular
e à distância
por:
Para pequenos ângulos,
em radianos, então:
Passo 7
Primeiro, vamos converter o ângulo de graus para radianos:
Então, o raio do Sol:
Mas precisamos do valor de
. Vamos relacionar com a massa usando a equação anterior.
Passo 8
Sabemos que o período orbital
da Terra é de aproximadamente
dias. Convertendo para segundos:
Substituindo na equação da massa:
Passo 9
Agora, vamos ligar a massa
à densidade
. A densidade é massa sobre volume. Supondo que o Sol é uma esfera:
Substituindo
da equação anterior e
:
Note que
cancela.
Passo 10
Agora, vamos calcular:
Calculando passo a passo:
Então:
Resposta
A densidade média do Sol é aproximadamente
.