(2,0 p) O diâmetro angular aparente do Sol visto da Terra (ângulo submetido pelo disco solar ) é de 0,55^circ. A constante gravitacional é G=6,67 times 10^-11 N m^2 / kg^2. Utilizando apenas estes dados, juntamente com o periodo da orbital da Terra em torno do Sol, aproximados por um círculo, calcule a densidade média do Sol.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre calcular a densidade média do Sol usando o diâmetro angular aparente que vemos daqui da Terra, a constante gravitacional e o período orbital da Terra. Basicamente, vamos usar conceitos de astronomia e física, como a Lei da Gravitação Universal de Newton e o movimento orbital. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas que relacionam força gravitacional, massa, raio orbital e densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o diâmetro angular aparente. É o ângulo que o Sol subtende no céu, que aqui é dado como . Sabendo disso, podemos calcular o raio real do Sol se conhecermos a distância da Terra ao Sol. Mas antes, precisamos encontrar a massa do Sol usando a Lei da Gravitação Universal.

Passo 3

A Lei da Gravitação Universal de Newton é dada por:
F = G M mr^2
onde:
  • F = m v^2r é a força gravitacional,
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa do Sol,
  • é a massa da Terra,
  • é a distância entre a Terra e o Sol.
Mas também sabemos que a força centrípeta necessária para a Terra manter-se em órbita é:
onde é a velocidade orbital da Terra.

Passo 4

Igualando as duas expressões da força G M mr^2 = m v^2r :
G Mr = v^2
Podemos simplificar cancelando e uma potência de :

Passo 5

Sabemos que a velocidade orbital v = 2 pi rT pode ser relacionada com o período orbital G Mr = ( 2 pi rT )^2 (um ano) e a distância G M = 4 pi^2 r^3T^2 pela circunferência da órbita:
M = 4 pi^2 r^3G T^2
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
E, isolando :

Passo 6

Agora, precisamos relacionar o diâmetro angular aparente com a distância D = 2 r tan( theta2 ) para encontrar o raio do Sol R = r tan( theta2 ) approx r ( theta2 ) . O diâmetro real do Sol está relacionado ao diâmetro angular e à distância por:
Para pequenos ângulos, em radianos, então:

Passo 7

Primeiro, vamos converter o ângulo de graus para radianos:
theta = 0,55^circ times pi180 approx 0,0096 rad
Então, o raio do Sol:
R approx r times 0,00962 = r times 0,0048
Mas precisamos do valor de . Vamos relacionar com a massa usando a equação anterior.

Passo 8

Sabemos que o período orbital T = 365,25 times 24 times 3600 approx 3,156 times 10^7 s da Terra é de aproximadamente M = 4 pi^2 r^3G T^2 dias. Convertendo para segundos:
Substituindo na equação da massa:

Passo 9

Agora, vamos ligar a massa rho = M43 pi R^3 à densidade rho = 4 pi^2 r^3G T^243 pi (0,0048 r)^3 = 3 pi^2 r^3G T^2 pi (0,0048)^3 r^3 = 3 piG T^2 (0,0048)^3 . A densidade é massa sobre volume. Supondo que o Sol é uma esfera:
Substituindo da equação anterior e :
Note que cancela.

Passo 10

Agora, vamos calcular:
rho = 3 pi(6,67 times 10^-11 N·m^2/kg^2) times (3,156 times 10^7 s)^2 times (0,0048)^3
Calculando passo a passo:
(3,156 times 10^7)^2 approx 9,96 times 10^14 s^2
(0,0048)^3 approx 1,10 times 10^-7
Então:
rho = 3 pi6,67 times 10^-11 times 9,96 times 10^14 times 1,10 times 10^-7 approx 9,427,31 times 10^-3 approx 1,29 times 10^3 kg/m^3

Resposta

A densidade média do Sol é aproximadamente .

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