O calor liberado (cal/g) de uma mistura de cimento tem distribuição aproximadamente normal. A média deve ser 100 e o desvio-padrão é 2. Desejamos testar
contra
, com uma amostra de 9 espécimes.
Encontre a probabilidade
do erro tipo II caso a média real for
; (R: 0,01222 )
Encontre a probabilidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o calor liberado de uma mistura de cimento, que segue uma distribuição normal. A média esperada é 100 cal/g e o desvio padrão é 2 cal/g. Queremos testar se a média realmente é 100 cal/g usando uma amostra de 9 espécimes. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de teste de hipóteses, distribuição normal e erros tipo II.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as hipóteses que estamos testando:
- Hipótese nula (H₀): μ = 100 cal/g
- Hipótese alternativa (H₁): μ ≠ 100 cal/g
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de cometer um erro tipo II, que acontece quando a média real é diferente de 100 cal/g (neste caso, 103 cal/g) mas não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 3
Para calcular essa probabilidade, precisamos determinar os limites que definem a região de aceitação da hipótese nula. Como o desvio padrão (σ) é 2 cal/g e o tamanho da amostra (n) é 9, o erro padrão (σₓ̄) é:
Passo 4
Como estamos fazendo um teste com um nível de significância padrão (geralmente 5%), precisamos encontrar os valores críticos que correspondem a esse nível. No caso de um teste bilateral, vamos dividir o nível de significância em duas partes iguais nas caudas da distribuição.
Usando a tabela da distribuição normal, encontramos o valor crítico z correspondente a 2,5% em cada cauda, que é aproximadamente z = ±1,96.
Passo 5
Agora, vamos converter esses valores z para os valores x na nossa distribuição original:
Para z = -1,96:
Para z = 1,96:
Esses são os limites da região de aceitação da hipótese nula.
Passo 6
Agora, queremos calcular a probabilidade de não rejeitar H₀ quando a verdadeira média é 103 cal/g. Isso significa calcular a probabilidade de que a média amostral esteja entre 98,693 e 101,307 quando μ = 103.
Vamos padronizar esses valores usando a média verdadeira (103) e o erro padrão:
Passo 7
Com esses valores z, podemos usar a tabela da distribuição normal para encontrar as probabilidades correspondentes.
A probabilidade de z ser menor que -2,54 é aproximadamente 0,0055, e a probabilidade de z ser menor que -6,46 é praticamente 0.
Então, a probabilidade de a média amostral estar entre 98,693 e 101,307 quando μ = 103 é:
Passo 8
Portanto, a probabilidade de cometer um erro tipo II, ou seja, de não rejeitar a hipótese nula quando a verdadeira média é 103 cal/g, é aproximadamente 0,0055.
Resposta
A probabilidade do erro tipo II é aproximadamente 0,0055.