O calor liberado (cal/g) de uma mistura de cimento tem distribuição aproximadamente normal. A média deve ser 100 e o desvio-padrão é 2. Desejamos testar H0: mu=100 cal / g contra H1: mu neq 100 cal / g, com uma amostra de 9 espécimes.
Encontre a probabilidade beta do erro tipo II caso a média real for mu=103; (R: 0,01222 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o calor liberado de uma mistura de cimento, que segue uma distribuição normal. A média esperada é 100 cal/g e o desvio padrão é 2 cal/g. Queremos testar se a média realmente é 100 cal/g usando uma amostra de 9 espécimes. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de teste de hipóteses, distribuição normal e erros tipo II.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as hipóteses que estamos testando:
  • Hipótese nula (H₀): μ = 100 cal/g
  • Hipótese alternativa (H₁): μ ≠ 100 cal/g
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de cometer um erro tipo II, que acontece quando a média real é diferente de 100 cal/g (neste caso, 103 cal/g) mas não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, precisamos determinar os limites que definem a região de aceitação da hipótese nula. Como o desvio padrão (σ) é 2 cal/g e o tamanho da amostra (n) é 9, o erro padrão (σₓ̄) é:
σbarx = σraizn = 2raiz9 = 23 approx 0,6667

Passo 4

Como estamos fazendo um teste com um nível de significância padrão (geralmente 5%), precisamos encontrar os valores críticos que correspondem a esse nível. No caso de um teste bilateral, vamos dividir o nível de significância em duas partes iguais nas caudas da distribuição.
Usando a tabela da distribuição normal, encontramos o valor crítico z correspondente a 2,5% em cada cauda, que é aproximadamente z = ±1,96.

Passo 5

Agora, vamos converter esses valores z para os valores x na nossa distribuição original:
x = μ + z cdot σbarx
Para z = -1,96:
xinferior = 100 + (-1,96) cdot 0,6667 approx 100 - 1,307 approx 98,693
Para z = 1,96:
xsuperior = 100 + 1,96 cdot 0,6667 approx 100 + 1,307 approx 101,307
Esses são os limites da região de aceitação da hipótese nula.

Passo 6

Agora, queremos calcular a probabilidade de não rejeitar H₀ quando a verdadeira média é 103 cal/g. Isso significa calcular a probabilidade de que a média amostral esteja entre 98,693 e 101,307 quando μ = 103.
Vamos padronizar esses valores usando a média verdadeira (103) e o erro padrão:
zinferior = 98,693 - 1030,6667 approx -4,3070,6667 approx -6,46
zsuperior = 101,307 - 1030,6667 approx -1,6930,6667 approx -2,54

Passo 7

Com esses valores z, podemos usar a tabela da distribuição normal para encontrar as probabilidades correspondentes.
A probabilidade de z ser menor que -2,54 é aproximadamente 0,0055, e a probabilidade de z ser menor que -6,46 é praticamente 0.
Então, a probabilidade de a média amostral estar entre 98,693 e 101,307 quando μ = 103 é:
P(-6,46 < z < -2,54) approx 0,0055 - 0 = 0,0055

Passo 8

Portanto, a probabilidade de cometer um erro tipo II, ou seja, de não rejeitar a hipótese nula quando a verdadeira média é 103 cal/g, é aproximadamente 0,0055.

Resposta

A probabilidade do erro tipo II é aproximadamente 0,0055.

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