Um engenheiro do INMETRO afirma que no mínimo 10 % dos capacetes de certo fabricante têm falhas que podem causar lesões ao usuário. Em uma amostra de 200 capacetes, 16 destes tinham tais defeitos. Realize um teste estatístico para verificar a afirmação do engenheiro. Use nível de significância igual a 1 %. ( R: Zt=-0,94<2,33 Não rejeita H0 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre verificar se pelo menos 10% dos capacetes de um fabricante têm falhas que podem causar lesões. Isso cai na matéria de Estatística, mais especificamente em testes de hipóteses para proporções. Para resolver, vamos precisar entender como comparar a proporção observada na amostra com a proporção afirmada pelo engenheiro, usando um teste z.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): A proporção de capacetes com falhas é pelo menos 10%, ou seja, $ p \geq 0,10 $.
  • Hipótese Alternativa (Hₐ): A proporção de capacetes com falhas é menor que 10%, ou seja, $ p < 0,10 $.

Passo 3

Agora, escolhemos o teste que vamos usar. Como estamos comparando uma proporção observada com uma proporção hipotética e a amostra é grande o suficiente, usamos o teste z para proporções. Esse teste ajuda a verificar se a diferença entre a proporção observada e a esperada é significativa.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste z. A fórmula do teste z para proporções é:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • $ \hat{p} $ é a proporção observada na amostra.
  • $ p_0 $ é a proporção hipotética (10% ou 0,10).
  • $ n $ é o tamanho da amostra.
Primeiro, calculamos $ \hat{p} $:
p
Então, substituímos na fórmula:
p0

Passo 5

Agora, vamos comparar o valor de z com o valor crítico para o nível de significância de 1%. Como nosso teste é unilateral (queremos saber se é menor que 10%), olhamos a tabela z para encontrar o valor crítico correspondente a 1%, que é aproximadamente -2,33.

Passo 6

Comparamos nosso z calculado (-0,94) com o valor crítico (-2,33):
-0,94 > -2,33
Como o z calculado não está na região crítica, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não rejeitamos $ H_0 $. Portanto, não há evidências suficientes para contradizer a afirmação do engenheiro de que pelo menos 10% dos capacetes têm falhas.

Exercícios relacionados