Num estudo das propriedades da inércia térmica de um tipo de concreto, foram testadas 5 amostras do material, e as medidas de temperatura ( em ^circ C ) em seu interior foram reportadas: 23,01; 22,22; 22,04; 22,62; 22,59.
Teste as hipóteses H0: mu=22,5 ^circ C contra H1: mu neq 22,5 ^circ C. Use alpha=0,05.
(R: est. teste =-0,0237 )

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um estudo sobre as propriedades da inércia térmica de um tipo de concreto. Cinco amostras desse concreto foram testadas, e as temperaturas internas medidas foram: 23,01; 22,22; 22,04; 22,62; e 22,59 graus Celsius.
O objetivo é testar as hipóteses estatísticas:
  • Hipótese Nula (H₀): A média das temperaturas internas do concreto é igual a 22,5°C.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média das temperaturas internas do concreto é diferente de 22,5°C.
Vamos usar um teste de hipóteses com nível de significância α = 0,05. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média das amostras, o desvio padrão e, em seguida, o valor do teste estatístico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral das temperaturas. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de amostras.
barx = 23,01 + 22,22 + 22,04 + 22,62 + 22,595
barx = 112,485 = 22,496^circ C

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral (s). O desvio padrão nos diz o quanto os valores estão espalhados em relação à média.
Primeiro, calculamos cada diferença entre a temperatura e a média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e dividimos pelo número de amostras menos um, e por fim, tiramos a raiz quadrada.
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Calculando:
(x1 - barx)^2 = (23,01 - 22,496)^2 = 0,262^2 = 0,0686
(x2 - barx)^2 = (22,22 - 22,496)^2 = (-0,276)^2 = 0,0762
(x3 - barx)^2 = (22,04 - 22,496)^2 = (-0,456)^2 = 0,2079
(x4 - barx)^2 = (22,62 - 22,496)^2 = 0,124^2 = 0,0154
(x5 - barx)^2 = (22,59 - 22,496)^2 = 0,094^2 = 0,0088
Somando:
0,0686 + 0,0762 + 0,2079 + 0,0154 + 0,0088 = 0,3769
Então,
s = raiz0,37695 - 1 = raiz0,37694 = raiz0,0942 approx 0,307

Passo 4

Com a média e o desvio padrão em mãos, vamos calcular o erro padrão da média (EPM), que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do número de amostras.
EPM = sraizn = 0,307raiz5 approx 0,3072,236 approx 0,137

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico (t). A fórmula para o t é:
t = barx - mu0EPM
Onde:
  • barx é a média amostral,
  • mu0 é a média hipotética (22,5°C),
  • EPM é o erro padrão da média.
Substituindo os valores:
t = 22,496 - 22,50,137 approx -0,0040,137 approx -0,0292

Passo 6

Vamos determinar os valores críticos para o teste de duas caudas com nível de significância α = 0,05 e graus de liberdade df = n - 1 = 4. Consultando uma tabela t de Student, encontramos que os valores críticos são aproximadamente pm 2,776.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t approx -0,0292 com os valores críticos pm 2,776:
  • Se |t| > 2,776, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se |t| <= 2,776, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, |-0,0292| = 0,0292 que é muito menor que 2,776.

Passo 8

Como |t| = 0,0292 <= 2,776, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

O valor calculado do teste estatístico é aproximadamente -0,0292. Como |t| <= 2,776, não rejeitamos a hipótese nula H0: mu = 22,5^circ C ao nível de significância de 5%.

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