Um mancal usado em uma aplicação automotiva deve ter um diâmetro nominal interno de
. Uma amostra aleatória de 25 mancais é selecionada, e o diâmetro médio observado é de
. Sabe-se que o diâmetro do mancal é normalmente distribuído, com
.
Teste as hipóteses
contra
. Use
; (R:
. Não rejeita
);
Teste as hipóteses
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre verificar se o diâmetro médio de um conjunto de mancais está de acordo com o valor nominal esperado de
. Estamos lidando com estatística inferencial, especificamente teste de hipóteses para a média. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste z, já que conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar:
- Hipótese nula (
): A média verdadeira do diâmetro é igual a , ou seja, $ \mu = 38,1 , mm $. - Hipótese alternativa (
): A média verdadeira do diâmetro é diferente de , ou seja, $ \mu \neq 38,1 , mm $.
Passo 3
Vamos usar a fórmula do teste z para média, que é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média da amostra.
- $ \mu_0 $ é a média hipotética (38,1 mm).
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população.
- $ n $ é o tamanho da amostra.
Passo 4
Substituindo os valores fornecidos na fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos comparar o valor calculado de $ Z $ com o valor crítico da distribuição normal para um nível de significância de $ \alpha = 0,01 $. Como é um teste bicaudal, dividimos o
por 2, ficando
de cada lado.
Consultando a tabela z, o valor crítico para $ \alpha/2 = 0,005 $ é aproximadamente $ \pm 2,58 $.
Passo 6
Comparando o valor calculado de $ Z = -1,25 $ com os valores críticos $ -2,58 $ e $ 2,58 $:
Como $ Z $ está dentro desses limites, não está na região de rejeição.
Resposta
Portanto, com base no teste realizado, não rejeitamos $ H_0 $. Não há evidências suficientes para afirmar que a média do diâmetro dos mancais é diferente de
.