Um mancal usado em uma aplicação automotiva deve ter um diâmetro nominal interno de 38,1 mm. Uma amostra aleatória de 25 mancais é selecionada, e o diâmetro médio observado é de 38,0365 mm. Sabe-se que o diâmetro do mancal é normalmente distribuído, com sigma= 0,254 mm.
Teste as hipóteses H0: mu=38,1 mm contra H1: mu neq 38,1 mm. Use alpha=0,01; (R: Z t=-1,25. Não rejeita H0 );

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre verificar se o diâmetro médio de um conjunto de mancais está de acordo com o valor nominal esperado de 38,1 , mm. Estamos lidando com estatística inferencial, especificamente teste de hipóteses para a média. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste z, já que conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar:
  • Hipótese nula ( H0): A média verdadeira do diâmetro é igual a 38,1 , mm, ou seja, $ \mu = 38,1 , mm $.
  • Hipótese alternativa ( mu = 38,1 , mm ): A média verdadeira do diâmetro é diferente de H1, ou seja, $ \mu \neq 38,1 , mm $.

Passo 3

Vamos usar a fórmula do teste z para média, que é:
Z = barx - mu0sigma / raizn
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média da amostra.
  • $ \mu_0 $ é a média hipotética (38,1 mm).
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da população.
  • $ n $ é o tamanho da amostra.

Passo 4

Substituindo os valores fornecidos na fórmula:
Z = 38,0365 - 38,10,254 / raiz25
Simplificando:
Z = -0,06350,254 / 5 = -0,06350,0508 approx -1,25

Passo 5

Agora, precisamos comparar o valor calculado de $ Z $ com o valor crítico da distribuição normal para um nível de significância de $ \alpha = 0,01 $. Como é um teste bicaudal, dividimos o Z por 2, ficando alpha = 0,01 de cada lado.
Consultando a tabela z, o valor crítico para $ \alpha/2 = 0,005 $ é aproximadamente $ \pm 2,58 $.

Passo 6

Comparando o valor calculado de $ Z = -1,25 $ com os valores críticos $ -2,58 $ e $ 2,58 $:
Z = -1,25
Como $ Z $ está dentro desses limites, não está na região de rejeição.

Resposta

Portanto, com base no teste realizado, não rejeitamos $ H_0 $. Não há evidências suficientes para afirmar que a média do diâmetro dos mancais é diferente de H0 .

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