Uma calota esférica, em geometria, é a parte de uma esfera cortada por um plano Se tal plano passa pelo centro da esfera, logicamente, a altura da calota é igual ao raio da esfera, e a calota esférica será uma (semiesfera).
Considere o plano z=c, com 0 <= c <= R. Este plano secciona a esfera x^2+y^2+z^2=R^2 em duas calotas. Mostre, usando integrais triplas que o volume da calota esférica que está acima do plano x y é igual a:
pi(23 R^3-c R^2+c^33)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Recebemos um exercício de geometria envolvendo calotas esféricas. A gente tem uma esfera com raio $ R $ e um plano $ z = c $ que corta essa esfera, formando duas calotas. Nosso objetivo é encontrar o volume da calota que está acima do plano $ xy $. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas do cálculo para calcular volumes em 3D.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação da esfera: $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} $. O plano que corta a esfera é $ z = c $, onde $ 0 \leq c \leq R $. Queremos o volume acima desse plano e dentro da esfera.

Passo 3

Vamos configurar a integral tripla em coordenadas esféricas, que são mais adequadas para problemas com simetria esférica. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é dado por $ \rho $ (distância do ponto à origem), $ \theta $ (ângulo no plano $ xy $) e $ \phi $ (ângulo a partir do eixo $ z $).
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
rho
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
theta

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ (cobrindo toda a volta no plano $ xy $).
  • $ \phi $ varia de $ 0 $ até um ângulo $ \phi_{c} $ onde o plano $ z = c $ corta a esfera. Para encontrar $ \phi_{c} $, usamos $ z = c = \rho \cos\phi $. Como no topo da calota, $ \rho = R $, então $ \cos\phi_{c} = \frac{c}{R} $ e $ \phi_{c} = \arccos\left(\frac{c}{R}\right) $.
  • $ \rho $ varia de $ 0 $ a $ R $ (raio da esfera).

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para o volume $ V $:
V

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
rho
Agora, a integral fica:
integral0^R rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^R = R^33

Passo 7

Integramos em relação a $ \phi $:
phi
Agora, a integral fica:
integral0^arccos(cR) sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^arccos(cR) = -cos(arccos(cR)) + cos(0) = -(cR) + 1 = 1 - cR

Passo 8

Simplificamos a expressão:
V = 2pi R^33 (1 - cR) = 2pi R^33 - 2pi R^2 c cdot 13 = pi ( 23 R^3 - c R^2 + c^33 )

Resposta

O volume da calota esférica acima do plano $ xy $ é igual a:
xy

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