Uma camada fina de metal, localizada no plano
, tem temperatura
no ponto
. As curvas de nível de
são chamadas de isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função de temperatura for dada por
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma camada fina de metal no plano
com uma temperatura
em cada ponto
. As curvas onde a temperatura é igual são chamadas de isotérmicas. A função da temperatura é dada por:
Vamos precisar entender como desenhar essas curvas isotérmicas com base nessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva isotérmica. É uma curva onde todos os pontos têm a mesma temperatura. Ou seja, para um valor constante
, temos:
Nosso objetivo é isolar
e
nessa equação para descobrir a forma dessas curvas.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para facilitar:
Isso nos dá:
Podemos chamar
de
, onde
é uma constante.
Passo 4
Agora, a equação fica:
Isso é a equação de uma elipse, onde o termo
indica que a curva se estica mais na direção
.
Passo 5
Para desenhar as isotérmicas, escolhemos diferentes valores de
(temperatura) e calculamos
para cada
. Por exemplo:
- Se
, então - Se
, então - E assim por diante.
Passo 6
Com esses valores de
, podemos desenhar as elipses correspondentes:
- Para
: - Para
: - E assim por diante.
Cada elipse representa uma curva isotérmica com uma temperatura específica.
Resposta
As isotérmicas da função
são elipses dadas por
, onde
é uma constante determinada pelo valor da temperatura
. Ao escolher diferentes valores de
, obtemos diferentes elipses que representam as curvas de mesma temperatura no plano
.