Uma camada fina de metal, localizada no plano x y, tem temperatura T(x, y) no ponto (x, y). As curvas de nível de T são chamadas de isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função de temperatura for dada por
T(x, y) = 100 / (1 + x^2 + 2y^2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma camada fina de metal no plano xy com uma temperatura T(x, y) em cada ponto (x, y). As curvas onde a temperatura é igual são chamadas de isotérmicas. A função da temperatura é dada por:
Vamos precisar entender como desenhar essas curvas isotérmicas com base nessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva isotérmica. É uma curva onde todos os pontos têm a mesma temperatura. Ou seja, para um valor constante k, temos:
Nosso objetivo é isolar x e y nessa equação para descobrir a forma dessas curvas.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para facilitar:
Isso nos dá:
Podemos chamar de C, onde C é uma constante.

Passo 4

Agora, a equação fica:
Isso é a equação de uma elipse, onde o termo indica que a curva se estica mais na direção y.

Passo 5

Para desenhar as isotérmicas, escolhemos diferentes valores de k (temperatura) e calculamos C para cada k. Por exemplo:
  • Se , então
  • Se , então
  • E assim por diante.

Passo 6

Com esses valores de C, podemos desenhar as elipses correspondentes:
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.
Cada elipse representa uma curva isotérmica com uma temperatura específica.

Resposta

As isotérmicas da função são elipses dadas por , onde C é uma constante determinada pelo valor da temperatura k. Ao escolher diferentes valores de k, obtemos diferentes elipses que representam as curvas de mesma temperatura no plano xy.

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