Use transformada de Fourier para resolver as seguintes EDPs com valores de contorno.
Encontre o deslocamento u(x, t) de uma corda elástica semi-infinita se u(0, t)=0, t>0, u(x, 0)=x e^-x,partial upartial t|t=0=0, x>0.

Passo 1

Vamos resolver um problema de equações diferenciais parciais (EDPs) usando a transformada de Fourier. O objetivo é encontrar o deslocamento de uma corda elástica semi-infinita. As condições dadas são:
  • para todo (condição de contorno),
  • e
  • para todo (condições iniciais).
Para resolver isso, vamos usar a transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para resolver EDPs transformando-as em equações algébricas mais simples.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Fourier na variável espacial . A transformada de Fourier de será denotada por , onde é a variável de frequência.

Passo 3

Ao aplicar a transformada de Fourier na EDP, transformamos derivadas em relação a em multiplicações por (onde é a unidade imaginária). Isso simplifica a EDP original em uma equação diferencial ordinária (EDO) em termos de .

Passo 4

Com as condições de contorno , a transformada de Fourier considera apenas , o que simplifica ainda mais a aplicação das condições iniciais na transformada.

Passo 5

Aplicamos a transformada de Fourier às condições iniciais:
  • A transformada de é calculada usando integrais conhecidas ou tabelas de transformadas.
  • A transformada de implica que a constante de integração na solução da EDO será zero.

Passo 6

Resolvemos a EDO resultante em , obtendo uma expressão que depende de e . A solução será uma combinação de funções exponenciais que descrevem a evolução temporal do sistema.

Passo 7

Aplicamos a transformada inversa de Fourier para retornar à variável espacial . Isso envolve integrar a expressão obtida para em relação a , usando técnicas de integração apropriadas.

Passo 8

Simplificamos a expressão final obtida após a transformada inversa, obtendo a solução que descreve o deslocamento da corda ao longo do tempo.

Resposta

A solução para o deslocamento da corda elástica semi-infinita é:
u(x, t) = x e^-x cos(t)

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