Resolver as seguintes equações diferenciais:
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Esse tipo de equação envolve derivadas e matemática avançada, mas não se assuste! Vamos precisar usar técnicas de equações exatas e integração para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a identificação de uma possível equação exata. Multiplicamos ambos os lados pelo denominador:
Passo 3
Agora, vamos organizar os termos para deixar a equação na forma
:
Aqui,
e
.
Passo 4
Verificamos se a equação é exata, ou seja, se
. Calculando:
Como
, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 5
Vamos procurar um fator integrante do tipo
ou
. Testando
, derivando e igualando para encontrar a forma correta.
Ap��s os cálculos, encontramos que o fator integrante é
.
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 7
Agora, a equação se torna exata. Encontramos uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Passo 8
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, seja
. Então,
.
Rearranjando:
Simplificando a integral:
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
à função
.
Resolvendo para
:
Como a equação deve depender apenas de
, concluímos que
.
Integrando:
Passo 10
Finalmente, juntamos tudo para a função potencial
:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Podemos reescrever de forma equivalente como: