Resolver as seguintes equações diferenciais: d y/d x = (x + 2y + 1)/(2x + 4y + 3).
Resp.: Lg(4x + 8y + 5) + 8y - 4x = C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Esse tipo de equação envolve derivadas e matemática avançada, mas não se assuste! Vamos precisar usar técnicas de equações exatas e integração para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a identificação de uma possível equação exata. Multiplicamos ambos os lados pelo denominador:

Passo 3

Agora, vamos organizar os termos para deixar a equação na forma :
Aqui, e .

Passo 4

Verificamos se a equação é exata, ou seja, se . Calculando:
Como , a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 5

Vamos procurar um fator integrante do tipo mu(x) ou mu(y). Testando mu(y), derivando e igualando para encontrar a forma correta.
Ap��s os cálculos, encontramos que o fator integrante é .

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 7

Agora, a equação se torna exata. Encontramos uma função potencial F(x, y) tal que:
Integrando em relação a x:

Passo 8

Fazendo uma substituição para facilitar a integração, seja . Então, .
Rearranjando:
Simplificando a integral:
çã

Passo 9

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a à função N.
Resolvendo para :
Como a equação deve depender apenas de y, concluímos que .
Integrando:

Passo 10

Finalmente, juntamos tudo para a função potencial F(x, y):
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Podemos reescrever de forma equivalente como:

Resposta

Lg(4x + 8y + 5) + 8y - 4x = C

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