Um campo elétrico dado por está em metros, atravessa um cubo gaussiano com 2,o m de aresta. Determine o fluxo elétrico total através do cubo? Qual a carga total envolvida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando sobre o fluxo elétrico total que passa por um cubo gaussiano com aresta de 2 metros, usando o campo elétrico dado por . Vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga total envolvida. Para resolver, precisamos entender como calcular o fluxo através de cada face do cubo e depois somar tudo. Vamos precisar aplicar a integral de superfície e conhecer um pouco sobre campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo elétrico através de uma superfície é dado pela integral do produto escalar do campo elétrico com o vetor normal à superfície :
No nosso caso, o cubo tem 6 faces, e precisamos calcular o fluxo através de cada uma delas.

Passo 3

Vamos analisar o campo elétrico dado: .
Isso significa que:
  • A componente na direção é constante: 4.
  • As componentes nas direções e dependem de e , respectivamente.
Como o cubo tem faces paralelas aos planos coordenados, isso vai simplificar nossos cálculos.

Passo 4

Vamos calcular o fluxo através de cada par de faces do cubo:
  1. Faces paralelas ao plano :
    • Duas faces: uma em e outra em .
    • O vetor normal para é , e para é .
    • Como o campo elétrico não tem componente em , o fluxo através dessas faces será zero.
  2. Faces paralelas ao plano :
    • Duas faces: uma em e outra em .
    • O vetor normal para é , e para é .
    • Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas faces separadamente.
  3. Faces paralelas ao plano :
    • Duas faces: uma em e outra em .
    • O vetor normal para é , e para é .
    • Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas faces separadamente.

Passo 5

Vamos detalhar o cálculo para cada par de faces:
  1. Faces em e :
    • Em , e .
      Integrando de 0 a 2 para e :
    • Em , e .
    • Flux total nas faces :
  2. Faces em e :
    • Em , e .
    • Em , e .
    • Flux total nas faces :

Passo 6

Agora, somando os fluxos de todas as faces:
Isso significa que o fluxo elétrico total através do cubo é ².
Para encontrar a carga total envolvida, usamos a Lei de Gauss:
Onde é a permissividade do vácuo ( ²²).
Então,

Resposta

O fluxo elétrico total através do cubo é ² e a carga total envolvida é .

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.
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