Um campo elétrico dado por E=4 imath-3(y^2+ está em metros, atravessa um cubo gaussiano com 2,o m de aresta. Determine o fluxo elétrico total através do cubo? Qual a carga total envolvida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando sobre o fluxo elétrico total que passa por um cubo gaussiano com aresta de 2 metros, usando o campo elétrico dado por . Vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga total envolvida. Para resolver, precisamos entender como calcular o fluxo através de cada face do cubo e depois somar tudo. Vamos precisar aplicar a integral de superfície e conhecer um pouco sobre campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo elétrico PhiE = integral duplaS E cdot n, dS através de uma superfície é dado pela integral do produto escalar do campo elétrico com o vetor normal à superfície :
No nosso caso, o cubo tem 6 faces, e precisamos calcular o fluxo através de cada uma delas.

Passo 3

Vamos analisar o campo elétrico dado: .
Isso significa que:
  • A componente na direção é constante: 4.
  • As componentes nas direções e dependem de e , respectivamente.
Como o cubo tem faces paralelas aos planos coordenados, isso vai simplificar nossos cálculos.

Passo 4

Vamos calcular o fluxo através de cada par de faces do cubo:
  1. Faces paralelas ao plano :
    • Duas faces: uma em e outra em .
    • O vetor normal para é , e para é .
    • Como o campo elétrico não tem componente em , o fluxo através dessas faces será zero.
  2. Faces paralelas ao plano :
    • Duas faces: uma em e outra em .
    • O vetor normal para é , e para é .
    • Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas faces separadamente.
  3. Faces paralelas ao plano :
    • Duas faces: uma em e outra em .
    • O vetor normal para é , e para é .
    • Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas faces separadamente.

Passo 5

Vamos detalhar o cálculo para cada par de faces:
  1. Faces em Phiy=0 = integral dupla E cdot (-j), dx,dz = integral dupla [4,imath - 3(0^2 + z^2),jmath] cdot (-j), dx,dz = integral dupla 3z^2, dx,dz e Phiy=0 = integral0^2 integral0^2 3z^2, dx,dz = 3 integral0^2 z^2 cdot 2, dz = 6 integral0^2 z^2, dz = 6 [ z^33 ]0^2 = 6 ( 83 ) = 16 :
    • Em Phiy=2 = integral dupla E cdot j, dx,dz = integral dupla [4,imath - 3(2^2 + z^2),jmath] cdot j, dx,dz = integral dupla -3(4 + z^2), dx,dz , Phiy=2 = -3 integral0^2 integral0^2 (4 + z^2), dx,dz = -3 integral0^2 (4 + z^2) cdot 2, dz = -6 integral0^2 (4 + z^2), dz = -6 [ 4z + z^33 ]0^2 = -6 ( 8 + 83 ) = -6 cdot 323 = -64 e Phiy = Phiy=0 + Phiy=2 = 16 - 64 = -48 .
      Phix=0 = integral dupla E cdot (-imath), dy,dz = integral dupla [4,imath - 3(y^2 + z^2),jmath] cdot (-imath), dy,dz = integral dupla -4, dy,dz
      Integrando de 0 a 2 para Phix=0 = -4 integral0^2 integral0^2 dy,dz = -4 cdot 4 = -16 e Phix=2 = integral dupla E cdot imath, dy,dz = integral dupla [4,imath - 3(y^2 + z^2),jmath] cdot imath, dy,dz = integral dupla 4, dy,dz :
      Phix=2 = 4 integral0^2 integral0^2 dy,dz = 4 cdot 4 = 16
    • Em Phix = Phix=0 + Phix=2 = -16 + 16 = 0 , e .
    • Flux total nas faces :
  2. Faces em e :
    • Em , e .
    • Em , e .
    • Flux total nas faces :

Passo 6

Agora, somando os fluxos de todas as faces:
Phitotal = Phix + Phiy + Phiz = 0 + (-48) + 0 = -48
Isso significa que o fluxo elétrico total através do cubo é PhiE = Qtotalvarepsilon0 ².
Para encontrar a carga total envolvida, usamos a Lei de Gauss:
Qtotal = PhiE cdot varepsilon0 = -48 cdot 8,85 times 10^-12 = -4,248 times 10^-10, C
Onde é a permissividade do vácuo ( ²²).
Então,

Resposta

O fluxo elétrico total através do cubo é ² e a carga total envolvida é .

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