Um campo elétrico dado por
está em metros, atravessa um cubo gaussiano com 2,o m de aresta. Determine o fluxo elétrico total através do cubo? Qual a carga total envolvida?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando sobre o fluxo elétrico total que passa por um cubo gaussiano com aresta de 2 metros, usando o campo elétrico dado por
. Vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga total envolvida. Para resolver, precisamos entender como calcular o fluxo através de cada face do cubo e depois somar tudo. Vamos precisar aplicar a integral de superfície e conhecer um pouco sobre campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo elétrico
através de uma superfície é dado pela integral do produto escalar do campo elétrico
com o vetor normal à superfície
:
No nosso caso, o cubo tem 6 faces, e precisamos calcular o fluxo através de cada uma delas.
Passo 3
Vamos analisar o campo elétrico dado:
.
Isso significa que:
- A componente na direção
é constante: 4. - As componentes nas direções
e dependem de e , respectivamente.
Como o cubo tem faces paralelas aos planos coordenados, isso vai simplificar nossos cálculos.
Passo 4
Vamos calcular o fluxo através de cada par de faces do cubo:
-
Faces paralelas ao plano
: - Duas faces: uma em
e outra em . - O vetor normal para
é , e para é . - Como o campo elétrico não tem componente em
, o fluxo através dessas faces será zero.
- Duas faces: uma em
-
Faces paralelas ao plano
: - Duas faces: uma em
e outra em . - O vetor normal para
é , e para é . - Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas faces separadamente.
- Duas faces: uma em
-
Faces paralelas ao plano
: - Duas faces: uma em
e outra em . - O vetor normal para
é , e para é . - Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas faces separadamente.
- Duas faces: uma em
Passo 5
Vamos detalhar o cálculo para cada par de faces:
-
Faces em
e : -
Em
, e . Integrando de 0 a 2 parae : -
Em
, e . -
Flux total nas faces
:
-
-
Faces em
e : -
Em
, e . -
Em
, e . -
Flux total nas faces
:
-
Passo 6
Agora, somando os fluxos de todas as faces:
Isso significa que o fluxo elétrico total através do cubo é
.
Para encontrar a carga total envolvida, usamos a Lei de Gauss:
Onde
é a permissividade do vácuo (
).
Então,
Resposta
O fluxo elétrico total através do cubo é
e a carga total envolvida é
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.
Um diagrama
é um gráfico semelhante ao diagrama
em que
e
são substituídos respectivamente por
e
. (a) Mostre que o diagrama
de um ciclo de Carnot é um retângulo. (b) Obtenha a expressão para o rendimento e de uma máquina de Carnot utilizando o diagrama
Por fim, já quase sem esperanças, tentei
. E funcionou! Essa razão é igual para todos os planetas! No início, pensei que se tratava de um sonho. Essa é a lei que tanto procurei, a lei que liga cosmo e mente, que demonstra que toda a Criação provém de Deus. Minha busca está encerrada.
(Apud Marcelo Gleiser. A harmonia do mundo, 2006. Adaptado.)
A lei mencionada no texto refere-se ao trabalho de um importante pensador, que viveu:
a) na Idade Média, período influenciado pelo pensamento da Igreja católica, e que buscava explicar os fenômenos da natureza por meio da intervenção divina.
b) na Europa posteriormente a Isaac Newton e que, sob forte influência deste filósofo e cientista, estabeleceu as bases da mecânica celeste.
c) em uma época de exacerbados conflitos religiosos, que culminariam na Contrarreforma católica, opondo-se ao modelo heliocêntrico de Nicolau Copérnico.
d) no período do Renascimento científico e que formulou três leis fundamentais do movimento planetário, baseando-se em observações do planeta Marte.
e) no fim da era medieval e início da Idade Moderna, período de triunfo da fé sobre a razão, o que facilitou seus trabalhos na tentativa de compreender a natureza.
(Apud Marcelo Gleiser. A harmonia do mundo, 2006. Adaptado.)
A lei mencionada no texto refere-se ao trabalho de um importante pensador, que viveu:
a) na Idade Média, período influenciado pelo pensamento da Igreja católica, e que buscava explicar os fenômenos da natureza por meio da intervenção divina.
b) na Europa posteriormente a Isaac Newton e que, sob forte influência deste filósofo e cientista, estabeleceu as bases da mecânica celeste.
c) em uma época de exacerbados conflitos religiosos, que culminariam na Contrarreforma católica, opondo-se ao modelo heliocêntrico de Nicolau Copérnico.
d) no período do Renascimento científico e que formulou três leis fundamentais do movimento planetário, baseando-se em observações do planeta Marte.
e) no fim da era medieval e início da Idade Moderna, período de triunfo da fé sobre a razão, o que facilitou seus trabalhos na tentativa de compreender a natureza.
O PREÇO DE EQUILÍBRIO PARA UMA MERCADORIA É DETERMINADO:
a) Pela demanda de mercado dessa mercadoria.
b) Pela oferta de mercado dessa mercadoria.
c) Pelo balanceamento das forças de demanda e oferta da mercadoria.
d) Pelos custos de produção.
e) N.d.a.
a) Pela demanda de mercado dessa mercadoria.
b) Pela oferta de mercado dessa mercadoria.
c) Pelo balanceamento das forças de demanda e oferta da mercadoria.
d) Pelos custos de produção.
e) N.d.a.