Um campo elétrico dado por
está em metros, atravessa um cubo gaussiano com 2,o m de aresta. Determine o fluxo elétrico total através do cubo? Qual a carga total envolvida?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando sobre o fluxo elétrico total que passa por um cubo gaussiano com aresta de 2 metros, usando o campo elétrico dado por
. Vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga total envolvida. Para resolver, precisamos entender como calcular o fluxo através de cada face do cubo e depois somar tudo. Vamos precisar aplicar a integral de superfície e conhecer um pouco sobre campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo elétrico
através de uma superfície é dado pela integral do produto escalar do campo elétrico
com o vetor normal à superfície
:
No nosso caso, o cubo tem 6 faces, e precisamos calcular o fluxo através de cada uma delas.
Passo 3
Vamos analisar o campo elétrico dado:
.
Isso significa que:
- A componente na direção
é constante: 4. - As componentes nas direções
e dependem de e , respectivamente.
Como o cubo tem faces paralelas aos planos coordenados, isso vai simplificar nossos cálculos.
Passo 4
Vamos calcular o fluxo através de cada par de faces do cubo:
-
Faces paralelas ao plano
: - Duas faces: uma em
e outra em . - O vetor normal para
é , e para é . - Como o campo elétrico não tem componente em
, o fluxo através dessas faces será zero.
- Duas faces: uma em
-
Faces paralelas ao plano
: - Duas faces: uma em
e outra em . - O vetor normal para
é , e para é . - Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas faces separadamente.
- Duas faces: uma em
-
Faces paralelas ao plano
: - Duas faces: uma em
e outra em . - O vetor normal para
é , e para é . - Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas faces separadamente.
- Duas faces: uma em
Passo 5
Vamos detalhar o cálculo para cada par de faces:
-
Faces em
e : -
Em
, e . Integrando de 0 a 2 parae : -
Em
, e . -
Flux total nas faces
:
-
-
Faces em
e : -
Em
, e . -
Em
, e . -
Flux total nas faces
:
-
Passo 6
Agora, somando os fluxos de todas as faces:
Isso significa que o fluxo elétrico total através do cubo é
.
Para encontrar a carga total envolvida, usamos a Lei de Gauss:
Onde
é a permissividade do vácuo (
).
Então,
Resposta
O fluxo elétrico total através do cubo é
e a carga total envolvida é
.