Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
f(x, y)=x y cos x y.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. A função que temos é f(x, y) = x y cos(xy). O que precisamos fazer aqui é calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y. Uma derivada parcial é como calcular a derivada, mas segurando uma das variáveis constantes. Então, para resolver isso, precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Começando pela derivada parcial em relação a x, denotada por partial fpartial x, vamos aplicar a regra do produto. A regra do produto diz que se temos duas funções multiplicadas, a derivada delas é:
d(uv)dx = u'v + uv'
onde u e v são as funções que estamos multiplicando e u' e v' são suas respectivas derivadas.
Aqui, temos u = xy e v = cos(xy). Precisamos calcular as derivadas de u e v em relação a x.
  • Para u = xy, a derivada em relação a x é:
partial upartial x = y
- Para v = cos(xy), precisamos usar a regra da cadeia:
partial vpartial x = -sin(xy) cdot partial (xy)partial x = -sin(xy) cdot y
Agora, substituímos isso na regra do produto:
partial fpartial x = partial upartial x v + u partial vpartial x
Substituindo os valores, temos:
partial fpartial x = y cos(xy) + xy (-sin(xy) cdot y)
Isso simplifica para:
partial fpartial x = y cos(xy) - xy^2 sin(xy)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y, que denotamos como partial fpartial y. Vamos novamente aplicar a regra do produto, mas agora com as funções u = xy e v = cos(xy).
  • Para u = xy, a derivada em relação a y é:
partial upartial y = x
- Para v = cos(xy), usando novamente a regra da cadeia:
partial vpartial y = -sin(xy) cdot partial (xy)partial y = -sin(xy) cdot x
Agora, usando a regra do produto:
partial fpartial y = partial upartial y v + u partial vpartial y
Substituindo os valores:
partial fpartial y = x cos(xy) + xy (-sin(xy) cdot x)
Isso simplifica para:
partial fpartial y = x cos(xy) - x^2 y sin(xy)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = xy cos(xy) são:
partial fpartial x = y cos(xy) - xy^2 sin(xy)
e
partial fpartial y = x cos(xy) - x^2 y sin(xy)

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