Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. A função que temos é
. O que precisamos fazer aqui é calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
. Uma derivada parcial é como calcular a derivada, mas segurando uma das variáveis constantes. Então, para resolver isso, precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Começando pela derivada parcial em relação a
, denotada por
, vamos aplicar a regra do produto. A regra do produto diz que se temos duas funções multiplicadas, a derivada delas é:
onde
Aqui, temos
e
. Precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
- Para
, a derivada em relação a é:
- Para
Agora, substituímos isso na regra do produto:
Substituindo os valores, temos:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que denotamos como
. Vamos novamente aplicar a regra do produto, mas agora com as funções
e
.
- Para
, a derivada em relação a é:
- Para
Agora, usando a regra do produto:
Substituindo os valores:
Isso simplifica para:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e