Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. A função que temos é
. O que precisamos fazer aqui é calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
. Uma derivada parcial é como calcular a derivada, mas segurando uma das variáveis constantes. Então, para resolver isso, precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Começando pela derivada parcial em relação a
, denotada por
, vamos aplicar a regra do produto. A regra do produto diz que se temos duas funções multiplicadas, a derivada delas é:
onde
Aqui, temos
e
. Precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
- Para
, a derivada em relação a é:
- Para
Agora, substituímos isso na regra do produto:
Substituindo os valores, temos:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que denotamos como
. Vamos novamente aplicar a regra do produto, mas agora com as funções
e
.
- Para
, a derivada em relação a é:
- Para
Agora, usando a regra do produto:
Substituindo os valores:
Isso simplifica para:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e
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em que
e
são substituídos respectivamente por
e
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Aluno (a)
Enuncie com suas palavras a primeira lei da termodinâmica e a segunda lei da termodinâmica. Dê exemplos e comente o significado de cada uma delas.
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(Apud Marcelo Gleiser. A harmonia do mundo, 2006. Adaptado.)
A lei mencionada no texto refere-se ao trabalho de um importante pensador, que viveu:
a) na Idade Média, período influenciado pelo pensamento da Igreja católica, e que buscava explicar os fenômenos da natureza por meio da intervenção divina.
b) na Europa posteriormente a Isaac Newton e que, sob forte influência deste filósofo e cientista, estabeleceu as bases da mecânica celeste.
c) em uma época de exacerbados conflitos religiosos, que culminariam na Contrarreforma católica, opondo-se ao modelo heliocêntrico de Nicolau Copérnico.
d) no período do Renascimento científico e que formulou três leis fundamentais do movimento planetário, baseando-se em observações do planeta Marte.
e) no fim da era medieval e início da Idade Moderna, período de triunfo da fé sobre a razão, o que facilitou seus trabalhos na tentativa de compreender a natureza.
(Apud Marcelo Gleiser. A harmonia do mundo, 2006. Adaptado.)
A lei mencionada no texto refere-se ao trabalho de um importante pensador, que viveu:
a) na Idade Média, período influenciado pelo pensamento da Igreja católica, e que buscava explicar os fenômenos da natureza por meio da intervenção divina.
b) na Europa posteriormente a Isaac Newton e que, sob forte influência deste filósofo e cientista, estabeleceu as bases da mecânica celeste.
c) em uma época de exacerbados conflitos religiosos, que culminariam na Contrarreforma católica, opondo-se ao modelo heliocêntrico de Nicolau Copérnico.
d) no período do Renascimento científico e que formulou três leis fundamentais do movimento planetário, baseando-se em observações do planeta Marte.
e) no fim da era medieval e início da Idade Moderna, período de triunfo da fé sobre a razão, o que facilitou seus trabalhos na tentativa de compreender a natureza.