Um diagrama T times S é um gráfico semelhante ao diagrama p times V em que p e V são substituídos respectivamente por T e S. (a) Mostre que o diagrama T times S de um ciclo de Carnot é um retângulo. (b) Obtenha a expressão para o rendimento e de uma máquina de Carnot utilizando o diagrama T times S

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre o diagrama T times S, que é parecido com o diagrama p times V, mas com temperatura ( T) e entropia ( S) no lugar de pressão ( p) e volume ( V). A questão quer que a gente mostre que, para um ciclo de Carnot, esse diagrama forma um retângulo e que a gente obtenha a expressão do rendimento da máquina de Carnot usando esse diagrama. Vamos precisar entender um pouco sobre ciclos termodinâmicos, especialmente o ciclo de Carnot, e como representá-los no diagrama T times S.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um ciclo de Carnot é composto por duas transformações isotérmicas (temperatura constante) e duas adiabáticas (sem troca de calor). No diagrama T times S, uma transformação isotérmica aparece como uma linha horizontal, porque a temperatura não muda. Já uma transformação adiabática aparece como uma linha vertical, já que não há troca de calor e, portanto, a entropia permanece constante.

Passo 3

Vamos desenhar o ciclo de Carnot no diagrama T times S. Começamos com uma transformação isotérmica de alta temperatura ( TH), que é uma linha horizontal. Em seguida, temos uma transformação adiabática descentemente, que é uma linha vertical para baixo. Depois, fazemos uma transformação isotérmica de baixa temperatura ( TC), outra linha horizontal. Por fim, uma transformação adiabática ascendendo, voltando ao ponto inicial. Como todas as linhas são horizontais ou verticais, o ciclo forma um retângulo no diagrama T times S.

Passo 4

Agora, para encontrar o rendimento da máquina de Carnot usando o diagrama T times S, sabemos que o rendimento ( eta) é dado pela relação entre o trabalho realizado e o calor absorvido. No ciclo de Carnot, o trabalho é igual à área do retângulo no diagrama T times S, que é (TH - TC) De. O calor absorvido na transformação isotérmica de alta temperatura é QH = TH De. Então, o rendimento fica:
eta = (TH - TC) De

Resposta

O rendimento de uma máquina de Carnot é eta = 1 - TCTH.

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