Para um campo elétrico da forma E(x)=x^2 i.
(a) Encontre o potencial elétrico V(x), considere que na origem de coordenadas $V(0)=0 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo elétrico dado por E(x) = x^2 i e quer encontrar o potencial elétrico V(x). O conteúdo que vamos usar aqui é a relação entre campo elétrico e potencial elétrico, que é fundamental na eletrostática. Vamos precisar entender que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico, ou seja, E = -nabla V. Vamos seguir passo a passo para achar V(x).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação E = -nabla V. No nosso caso, estamos trabalhando em uma dimensão (só tem a direção x), então essa relação se simplifica para:
E(x) = -dVdx
Isso significa que derivando o potencial em relação a x, a gente consegue o campo elétrico.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação para encontrar a derivada do potencial:
dVdx = -E(x)
Sabemos que E(x) = x^2, então substituindo na equação:
dVdx = -x^2

Passo 4

Para encontrar V(x), precisamos integrar a equação acima em relação a x:
V(x) = -integral x^2 dx + C
Aqui, C é a constante de integração que vamos determinar usando a condição dada no problema.

Passo 5

Vamos fazer a integração:
integral x^2 dx = x^33 + C
Portanto,
V(x) = -x^33 + C

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial que foi dada: na origem de coordenadas, V(0) = 0. Substituindo x = 0 na expressão de V(x):
0 = -0^33 + C Rightarrow C = 0

Resposta

Então, o potencial elétrico é:
V(x) = -x^33

Exercícios relacionados