Para um campo elétrico da forma
.
(a) Encontre o potencial elétrico
, considere que na origem de coordenadas $V(0)=0 .
(a) Encontre o potencial elétrico
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo elétrico dado por
e quer encontrar o potencial elétrico
. O conteúdo que vamos usar aqui é a relação entre campo elétrico e potencial elétrico, que é fundamental na eletrostática. Vamos precisar entender que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico, ou seja,
. Vamos seguir passo a passo para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação
. No nosso caso, estamos trabalhando em uma dimensão (só tem a direção
), então essa relação se simplifica para:
Isso significa que derivando o potencial em relação a
, a gente consegue o campo elétrico.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação para encontrar a derivada do potencial:
Sabemos que
, então substituindo na equação:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos integrar a equação acima em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição dada no problema.
Passo 5
Vamos fazer a integração:
Portanto,
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial que foi dada: na origem de coordenadas,
. Substituindo
na expressão de
:
Resposta
Então, o potencial elétrico é: