Prob. 4 (Halliday): Duas placas paralelas condutoras de grande extensão estão separadas por uma distância de 12 cm e possuem densidades superficiais de cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas faces internas. Uma força eletrostática de 3,9 times 10^-15 N age sobre um elétron colocado na região entre as duas placas. (Despreze o efeito de borda.)
(d) Um elétron é liberado em uma região muito próxima da placa carregada negativamente, com que velocidade chega na outra placa?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de eletrostática. O enunciado fala sobre duas placas condutoras grandes, paralelas e com cargas opostas, separadas por 12 cm. Um elétron é colocado entre elas e sente uma força eletrostática de 3,9 times 10^-15 N. Queremos descobrir com que velocidade o elétron chega na outra placa quando é liberado próximo à placa negativa.
Para resolver isso, vamos precisar entender as forças elétricas entre placas carregadas, o movimento do elétron sob essa força (usando as leis de Newton e a equação do movimento uniformemente acelerado). Vamos também utilizar a relação entre força, massa e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a força que atua sobre o elétron. A força elétrica $ F $ é dada, e sabemos que essa força causa uma aceleração no elétron. A relação entre força, massa e aceleração é dada pela segunda lei de Newton:
F
Onde:
  • $ F $ é a força,
  • $ m $ é a massa do elétron,
  • $ a $ é a aceleração.
Vamos rearranjar essa equação para encontrar a aceleração:
F = m cdot a
Sabemos que a massa do elétron $ m $ é aproximadamente F kg.

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração do elétron usando os valores fornecidos:
a = 3,9 times 10^-15, N9,11 times 10^-31, kg
Fazendo a divisão:
a approx 4,28 times 10^15, m/s^2
Isso significa que o elétron está acelerando a uma taxa de aproximadamente 4,28 times 10^15 m/s² em direção à outra placa.

Passo 4

Agora, precisamos determinar com que velocidade o elétron chega na outra placa. Para isso, vamos usar a equação do movimento uniformemente acelerado:
v^2 = v0^2 + 2a s
Onde:
  • $ v $ é a velocidade final,
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial (que é 0, já que o elétron é liberado do repouso),
  • $ a $ é a aceleração,
  • $ s $ é a distância percorrida.
Como o elétron parte do repouso, $ v_0 = 0 $, então a equação simplifica para:
v
A distância $ s $ é de 12 cm, ou seja, 0,12 m.

Passo 5

Substituindo os valores que temos na equação:
v = raiz2 times 4,28 times 10^15, m/s^2 times 0,12, m
Primeiro, multiplicamos os valores dentro da raiz:
2 times 4,28 times 10^15 times 0,12 = 1,0272 times 10^15
Agora, tiramos a raiz quadrada:
v = raiz1,0272 times 10^15 approx 1,0135 times 10^7, m/s

Resposta

O elétron chega na outra placa com uma velocidade de aproximadamente 1,01 times 10^7 metros por segundo.

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