O campo elétrico de uma onda eletromagnética se propagando no vácuo é dado por
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Mostre que esse campo é solução da equação da onda eletromagnética
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Mostre que esse campo é solução da equação da onda eletromagnética
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma expressão para o campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo, que é $ \boldsymbol{E} = E_{0} \sin[k(x - ct)] $. O objetivo é mostrar que essa expressão satisfaz a equação da onda eletromagnética dada por:
Para resolver isso, vamos calcular as derivadas de segunda ordem de $ E_y $ em relação a $ x $ e $ t $, e verificar se a equação se mantém verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão do campo elétrico:
Aqui, $ E_{0} $ é a amplitude da onda, $ k $ é o número de onda, $ c $ é a velocidade da luz no vácuo, $ x $ é a posição e $ t $ é o tempo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ E_{y} $ em relação a $ x $.
Primeiro, derivamos uma vez em relação a $ x $:
Em seguida, derivamos novamente em relação a $ x $:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ E_{y} $ em relação a $ t $.
Primeiro, derivamos uma vez em relação a $ t $:
Em seguida, derivamos novamente em relação a $ t $:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos substituir as derivadas na equação da onda eletromagnética:
Substituindo:
Simplificando os sinais negativos:
Podemos cancelar $ k^{2} E_{y} $ dos dois lados (desde que $ k $ e $ E_{y} $ não sejam zero):
Resposta
Como a relação $ 1 = \varepsilon_{0} \mu_{0} c^{2} $ é verdadeira no vácuo (onde $ c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}}} $), concluímos que o campo elétrico $ \boldsymbol{E} = E_{0} \sin[k(x - ct)] $ satisfaz a equação da onda eletromagnética no vácuo.