Um campo de escoamento bidimensional para um líquido pode ser descrito por V=(5 y^2-x) i+(3 x +y) j / m / s, onde x e y estāo em metros. Determine a magnitude da velocidade de uma partícula localizada em ( 5 m,-2 m ) e sua direçâo medida em sentido anti-horário a partir do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um campo de escoamento bidimensional para um líquido, descrito pela velocidade vetorial . Precisamos encontrar a magnitude da velocidade de uma partícula localizada em e a direção dessa velocidade medida a partir do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de vetores de velocidade e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão da velocidade vetorial dada:
V = (5 y^2 - x) i + (3 x + y) j , m/s
Aqui, e são os vetores unitários nas direções e , respectivamente. Para encontrar a velocidade em um ponto específico , basta substituir esses valores na expressão.

Passo 3

Vamos substituir Vx = 5 y^2 - x = 5 (-2)^2 - 5 = 5 times 4 - 5 = 20 - 5 = 15 , m/s e Vy = 3 x + y = 3 times 5 + (-2) = 15 - 2 = 13 , m/s na expressão da velocidade:
V = 15,i + 13,j , m/s
Então, a velocidade vetorial no ponto é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade |V| = raizVx^2 + Vy^2 . A magnitude de um vetor |V| = raiz15^2 + 13^2 = raiz225 + 169 = raiz394 approx 19,85 , m/s é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Para encontrar a direção da velocidade em relação ao eixo tan(theta) = VyVx = 1315 , vamos calcular o ângulo theta = tan^-1(1315) approx 41,99^circ usando a função tangente:
Agora, calculamos :
Então, a direção da velocidade é aproximadamente sentido anti-horário a partir do eixo .

Resposta

A magnitude da velocidade da partícula em é aproximadamente e a direção da velocidade é de cerca de sentido anti-horário a partir do eixo .

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