Um instrumento de
está montado sobre 4 molas em paralelo, sem amortecimento. Se a amplitude de vibração vertical da base das molas é 1 mm , calcule a faixa de frequência da vibração da base que deve ser proibida para que a amplitude de vibração vertical do instrumento não exceda
. Cada mola possui
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolver. Temos um instrumento com massa m = (2 × 10) kg = 20 kg apoiado em 4 molas em paralelo, cada uma com k = 400 N/m. A base das molas vibra com uma amplitude de 1 mm, e queremos descobrir quais frequências de vibração da base devem ser proibidas para que a amplitude de vibração do instrumento não ultrapasse 0,8 mm. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas massa-mola e resonância.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a constante elástica total do sistema. Como as molas estão em paralelo, a constante total k_total é a soma das constantes individuais:
Passo 3
Em seguida, vamos determinar a frequência natural do sistema, que é a frequência na qual o sistema tende a oscilar naturalmente quando não há amarração ou amortecimento. A fórmula para a frequência natural
é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a amplitude da vibração da base (
) com a amplitude da vibração do instrumento (
). A fórmula que relaciona essas amplitudes em um sistema massa-mola sem amortecimento é:
Onde
é a frequência angular.
Queremos que
. Então:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade
. Isso nos dá duas situações:
-
Essa situação não é possível, pois
não pode ser negativo. -
Passo 6
Agora, vamos converter a frequência angular
para frequência
em Hz:
Resposta
A faixa de frequência que deve ser proibida para que a amplitude de vibração do instrumento não exceda 0,8 mm é frequências iguais ou superiores a aproximadamente 2,14 Hz.