Um instrumento de (R2 times 10) kg está montado sobre 4 molas em paralelo, sem amortecimento. Se a amplitude de vibração vertical da base das molas é 1 mm , calcule a faixa de frequência da vibração da base que deve ser proibida para que a amplitude de vibração vertical do instrumento não exceda 0,8 mm. Cada mola possui k=400 N / m.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolver. Temos um instrumento com massa m = (2 × 10) kg = 20 kg apoiado em 4 molas em paralelo, cada uma com k = 400 N/m. A base das molas vibra com uma amplitude de 1 mm, e queremos descobrir quais frequências de vibração da base devem ser proibidas para que a amplitude de vibração do instrumento não ultrapasse 0,8 mm. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas massa-mola e resonância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a constante elástica total do sistema. Como as molas estão em paralelo, a constante total k_total é a soma das constantes individuais:
ktotal = 4 times 400, N/m = 1600, N/m

Passo 3

Em seguida, vamos determinar a frequência natural do sistema, que é a frequência na qual o sistema tende a oscilar naturalmente quando não há amarração ou amortecimento. A fórmula para a frequência natural f0 = 12pi raizktotalm é:
f0 = 12pi raiz160020 = 12pi raiz80 approx 8,9442pi approx 1,424, Hz
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos relacionar a amplitude da vibração da base ( xinstrumento = xbase times ktotal|ktotal - momega^2| ) com a amplitude da vibração do instrumento ( 1, mm times 1600|1600 - 20omega^2| <= 0,8, mm ). A fórmula que relaciona essas amplitudes em um sistema massa-mola sem amortecimento é:
1600|1600 - 20omega^2| <= 0,8 Rightarrow |1600 - 20omega^2| >= 16000,8 = 2000
Onde é a frequência angular.
Queremos que . Então:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade -20omega^2 >= 400 omega^2 <= -20 . Isso nos dá duas situações:
  1. -20omega^2 <= -3600 omega^2 >= 180 omega >= raiz180 approx 13,416, rad/s
    Essa situação não é possível, pois não pode ser negativo.

Passo 6

Agora, vamos converter a frequência angular f >= 13,4162pi approx 13,4166,283 approx 2,136, Hz para frequência em Hz:

Resposta

A faixa de frequência que deve ser proibida para que a amplitude de vibração do instrumento não exceda 0,8 mm é frequências iguais ou superiores a aproximadamente 2,14 Hz.

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