Um instrumento de está montado sobre 4 molas em paralelo, sem amortecimento. Se a amplitude de vibração vertical da base das molas é 1 mm , calcule a faixa de frequência da vibração da base que deve ser proibida para que a amplitude de vibração vertical do instrumento não exceda . Cada mola possui .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolver. Temos um instrumento com massa m = (2 × 10) kg = 20 kg apoiado em 4 molas em paralelo, cada uma com k = 400 N/m. A base das molas vibra com uma amplitude de 1 mm, e queremos descobrir quais frequências de vibração da base devem ser proibidas para que a amplitude de vibração do instrumento não ultrapasse 0,8 mm. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas massa-mola e resonância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a constante elástica total do sistema. Como as molas estão em paralelo, a constante total k_total é a soma das constantes individuais:

Passo 3

Em seguida, vamos determinar a frequência natural do sistema, que é a frequência na qual o sistema tende a oscilar naturalmente quando não há amarração ou amortecimento. A fórmula para a frequência natural é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos relacionar a amplitude da vibração da base ( ) com a amplitude da vibração do instrumento ( ). A fórmula que relaciona essas amplitudes em um sistema massa-mola sem amortecimento é:
Onde é a frequência angular.
Queremos que . Então:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade . Isso nos dá duas situações:
  1. Essa situação não é possível, pois não pode ser negativo.

Passo 6

Agora, vamos converter a frequência angular para frequência em Hz:

Resposta

A faixa de frequência que deve ser proibida para que a amplitude de vibração do instrumento não exceda 0,8 mm é frequências iguais ou superiores a aproximadamente 2,14 Hz.

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