Um campo de escoamento é dado por
a) Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento (permanente ou transitório).
b) Qual é a velocidade e aceleração de uma partícula em
?
c) Desenhe a linha de corrente que passa pelo ponto
quando
quanto
.
b) Qual é a velocidade e aceleração de uma partícula em
c) Desenhe a linha de corrente que passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo de escoamento representado pela velocidade
. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, como dimensões do fluxo, regimes de escoamento (se é permanente ou transitório), além de calcular velocidade e aceleração de partículas e desenhar linhas de corrente. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos determinar as dimensões do escoamento e identificar se o regime é permanente ou transitório.
Dimensão do escoamento se refere se o fluxo é bidimensional ou tridimensional. Observando a expressão de
, temos componentes em
e
, então o escoamento é bidimensional.
Já o regime de escoamento depende se as propriedades do fluxo mudam com o tempo. Como a velocidade depende de
, isso indica que o escoamento é transitório, ou seja, muda com o tempo.
Passo 3
Parte b) Agora, vamos calcular a velocidade e a aceleração de uma partícula no ponto
.
Primeiro, substituímos
,
e
na expressão da velocidade:
Então, a velocidade é
.
Para encontrar a aceleração, precisamos derivar a velocidade em relação ao tempo. A aceleração
é dada por:
Substituindo
e
:
Então, a aceleração é
.
Passo 4
Parte c) Vamos desenhar as linhas de corrente que passam pelo ponto
para
e
.
As linhas de corrente são trajetórias que uma partícula seguiria no fluxo. Elas são definidas pela equação diferencial:
Substituindo
e
:
Isso nos dá a equação diferencial a resolver para
. Vamos resolver para os dois casos de tempo.
Para
:
Separando variáveis:
Integrando ambos os lados:
Usando o ponto
:
Então, a linha de corrente é
.
Para
:
Separando variáveis:
Integrando ambos os lados:
Usando o ponto
:
Então, a linha de corrente é
.
Resposta
a) O escoamento é bidimensional e transitório.
b) A velocidade em é
e a aceleração é
.
c) As linhas de corrente que passam pelo ponto são
para
e
para
.
b) A velocidade em
c) As linhas de corrente que passam pelo ponto