Um campo de escoamento é dado por
V(x, y, t)=2 x^2 imath+4 x y t jmath
a) Determinar, explicando, a dimensão e o regime de escoamento (permanente ou transitório).
b) Qual é a velocidade e aceleração de uma partícula em (1,3,2) ?
c) Desenhe a linha de corrente que passa pelo ponto (1,3) quando t=1 e quanto t=1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo de escoamento representado pela velocidade . A gente vai precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, como dimensões do fluxo, regimes de escoamento (se é permanente ou transitório), além de calcular velocidade e aceleração de partículas e desenhar linhas de corrente. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos determinar as dimensões do escoamento e identificar se o regime é permanente ou transitório.
Dimensão do escoamento se refere se o fluxo é bidimensional ou tridimensional. Observando a expressão de , temos componentes em e , então o escoamento é bidimensional.
Já o regime de escoamento depende se as propriedades do fluxo mudam com o tempo. Como a velocidade depende de , isso indica que o escoamento é transitório, ou seja, muda com o tempo.

Passo 3

Parte b) Agora, vamos calcular a velocidade e a aceleração de uma partícula no ponto V(1, 3, 2) = 2(1)^2 imath + 4(1)(3)(2) jmath = 2 imath + 24 jmath .
Primeiro, substituímos a = partial Vpartial t = partialpartial t (2x^2 imath + 4xy t jmath) = 0 imath + 4xy jmath , a = 0 imath + 4(1)(3) jmath = 0 imath + 12 jmath e na expressão da velocidade:
Então, a velocidade é .
Para encontrar a aceleração, precisamos derivar a velocidade em relação ao tempo. A aceleração é dada por:
Substituindo e :
Então, a aceleração é .

Passo 4

Parte c) Vamos desenhar as linhas de corrente que passam pelo ponto dydx = VyVx para dydx = 4xy t2x^2 = 2y tx e dydx = 2yx .
As linhas de corrente são trajetórias que uma partícula seguiria no fluxo. Elas são definidas pela equação diferencial:
dyy = 2 dxx
Substituindo ln y = 2 ln x + C Rightarrow y = C x^2 e 3 = C (1)^2 Rightarrow C = 3 :
dydx = 2y cdot 12x = yx
Isso nos dá a equação diferencial a resolver para dyy = dxx . Vamos resolver para os dois casos de tempo.
Para ln y = ln x + C Rightarrow y = C x :
3 = C (1) Rightarrow C = 3
Separando variáveis:
Integrando ambos os lados:
Usando o ponto :
Então, a linha de corrente é .
Para :
Separando variáveis:
Integrando ambos os lados:
Usando o ponto :
Então, a linha de corrente é .

Resposta

a) O escoamento é bidimensional e transitório.
b) A velocidade em é e a aceleração é .
c) As linhas de corrente que passam pelo ponto são para e para .

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